Номер 629, страница 160 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 629, страница 160.

629. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный.

Для доказательства данного утверждения можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Использование свойств равнобедренного треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим $O$ как центр его описанной окружности, а $BH$ — как его высоту, проведенную из вершины $B$ к стороне $AC$. По условию, точка $O$ лежит на прямой, содержащей высоту $BH$.

По определению, центр описанной окружности $O$ равноудален от всех вершин треугольника. Следовательно, отрезки $OA$ и $OC$ равны как радиусы этой окружности: $OA = OC$.

Это означает, что треугольник $AOC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

По условию, центр $O$ лежит на высоте $BH$. По определению высоты, $BH \perp AC$. Следовательно, прямая, содержащая высоту $BH$, перпендикулярна стороне $AC$. Так как $O$ лежит на этой прямой, то отрезок $OH$ (где $H$ — основание высоты) является высотой в равнобедренном треугольнике $AOC$, опущенной из вершины $O$ на основание $AC$.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Таким образом, точка $H$ является серединой основания $AC$, то есть $AH = HC$.

Теперь вернемся к исходному треугольнику $ABC$. Отрезок $BH$ является его высотой к стороне $AC$ (по построению). Мы также установили, что точка $H$ является серединой стороны $AC$, что делает $BH$ и медианой треугольника $ABC$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $BH$ является одновременно и высотой, и медианой. По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике высота совпадает с медианой, то такой треугольник является равнобедренным. В нашем случае, это означает, что стороны, прилегающие к вершине $B$, равны: $AB = BC$.

Способ 2: Использование конгруэнтности прямоугольных треугольников.

Пусть даны те же обозначения: $\triangle ABC$, описанная окружность с центром $O$ и высота $BH$, причем $O$ лежит на прямой $BH$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OHC$. Они являются прямоугольными, так как $O$ лежит на высоте $BH$, а $BH \perp AC$.
1. Катет $OH$ у них общий.
2. Гипотенузы $OA$ и $OC$ равны, так как являются радиусами одной и той же описанной окружности ($OA=OC=R$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OHC$ равны по катету и гипотенузе. Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих катетов: $AH = CH$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle CHB$. Они являются прямоугольными (так как $BH$ — высота).
1. Катет $BH$ у них общий.
2. Катеты $AH$ и $CH$ равны, как было доказано выше ($AH = CH$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle CHB$ равны по двум катетам. Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = BC$.

Таким образом, треугольник $ABC$ имеет две равные стороны и является равнобедренным.

Ответ: Утверждение доказано. Если центр описанной окружности треугольника лежит на его высоте, то эта высота также является серединным перпендикуляром к стороне, к которой она проведена. Это, в свою очередь, означает, что высота является и медианой, что является признаком равнобедренного треугольника.

629. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.