Номер 610, страница 157 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 610, страница 157.

610. Начертите:

1) равнобедренный остроугольный треугольник;

2) равнобедренный тупоугольный треугольник.

Выполните задания 1 и 2 из задания 609.

В задаче требуется начертить два вида равнобедренных треугольников и выполнить для них задания 1 и 2 из № 609. Предположим, что в задании № 609 требовалось построить описанную окружность и определить положение её центра относительно треугольника.

1) равнобедренный остроугольный треугольник

Равнобедренный остроугольный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны, и все три угла острые, то есть меньше $90^\circ$.
Построение треугольника:
1. Начертим отрезок $AC$, который будет служить основанием треугольника.
2. Из середины отрезка $AC$, точки $H$, проведём к нему перпендикуляр.
3. На этом перпендикуляре выберем точку $B$ так, чтобы высота $BH$ была больше половины основания ($BH > AH$).
4. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ будет равнобедренным ($AB=BC$) и остроугольным.

Построение описанной окружности и определение положения её центра:
Центр описанной окружности треугольника (описанный центр) — это точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
1. Один серединный перпендикуляр у нас уже построен — это прямая, содержащая высоту $BH$.
2. Построим серединный перпендикуляр к одной из боковых сторон, например, к стороне $AB$.
3. Точка $O$, в которой пересекутся эти два перпендикуляра, является центром описанной окружности.
4. Для остроугольного треугольника точка пересечения серединных перпендикуляров всегда находится внутри треугольника.

Ответ: Центр описанной окружности равнобедренного остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

2) равнобедренный тупоугольный треугольник

Равнобедренный тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны, а один из углов тупой (больше $90^\circ$). В равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине, противолежащей основанию, так как углы при основании равны и не могут быть тупыми (их сумма превысила бы $180^\circ$).
Построение треугольника:
1. Начертим отрезок $AC$ — основание треугольника.
2. Из середины отрезка $AC$, точки $H$, проведём к нему перпендикуляр.
3. На этом перпендикуляре выберем точку $B$ так, чтобы высота $BH$ была меньше половины основания ($BH < AH$).
4. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ будет равнобедренным ($AB=BC$) и тупоугольным (угол $\angle ABC > 90^\circ$).

Построение описанной окружности и определение положения её центра:
Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
1. Построим серединный перпендикуляр к основанию $AC$ (прямая, содержащая высоту $BH$).
2. Построим серединный перпендикуляр к боковой стороне $AB$.
3. Точка их пересечения $O$ и будет центром описанной окружности.
4. Для тупоугольного треугольника точка пересечения серединных перпендикуляров всегда находится снаружи треугольника. В нашем случае, точка $O$ будет лежать на продолжении высоты $BH$ за основанием $AC$.

Ответ: Центр описанной окружности равнобедренного тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.

610. Постройте треугольник по двум высотам и углу, из вершины которого проведена одна из данных высот. Сколько решений может иметь задача?