Страница 154 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

606. На стороне $MK$ треугольника $MPK$ отметили точки $E$ и $F$ так, что точка $E$ лежит между точками $M$ и $F$, $ME = EP$, $PF = FK$. Найдите угол $M$, если $\angle EPF = 92^\circ$, $\angle K = 26^\circ$.

Рассмотрим треугольник $MEP$. По условию задачи стороны $ME$ и $EP$ равны ($ME = EP$), следовательно, треугольник $MEP$ является равнобедренным с основанием $MP$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle M = \angle MPE$. Обозначим величину этих углов через $x$, то есть $\angle M = \angle MPE = x$.

Рассмотрим треугольник $PFK$. По условию стороны $PF$ и $FK$ равны ($PF = FK$), следовательно, треугольник $PFK$ также является равнобедренным с основанием $PK$. Углы при основании этого треугольника равны: $\angle K = \angle FPK$. Из условия известно, что $\angle K = 26^\circ$, значит $\angle FPK = 26^\circ$.

Угол $\angle MPK$ в основном треугольнике $MPK$ состоит из суммы трех углов: $\angle MPE$, $\angle EPF$ и $\angle FPK$, так как точки $E$ и $F$ лежат на стороне $MK$.

$\angle MPK = \angle MPE + \angle EPF + \angle FPK$

Подставим известные значения: $\angle MPE = x$, $\angle EPF = 92^\circ$ (по условию) и $\angle FPK = 26^\circ$.

$\angle MPK = x + 92^\circ + 26^\circ = x + 118^\circ$

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $MPK$ это записывается как:

$\angle M + \angle MPK + \angle K = 180^\circ$

Подставим в это уравнение выражения для углов, которые мы нашли:

$x + (x + 118^\circ) + 26^\circ = 180^\circ$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$2x + 144^\circ = 180^\circ$

$2x = 180^\circ - 144^\circ$

$2x = 36^\circ$

$x = \frac{36^\circ}{2}$

$x = 18^\circ$

Поскольку мы обозначили $\angle M$ как $x$, то искомый угол $M$ равен $18^\circ$.

Ответ: $18^\circ$.

606. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к третьей стороне. Сколько решений может иметь задача?

607. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BM$, из точки $M$ на сторону $BC$ опущен перпендикуляр $MK$, $\angle ABM = \angle KMC$.

Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Дано:
Треугольник $ABC$ — остроугольный.
$BM$ — биссектриса $\angle ABC$ ($M \in AC$).
$MK \perp BC$ ($K \in BC$).
$\angle ABM = \angle KMC$.

Доказать:
Треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Доказательство:

1. Поскольку $BM$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, то по определению она делит этот угол пополам: $\angle ABM = \angle MBC$.

2. По условию задачи также дано, что $\angle ABM = \angle KMC$.

3. Сопоставляя равенства из пунктов 1 и 2, получаем: $\angle MBC = \angle KMC$.

4. Рассмотрим треугольник $KMC$. Так как по условию $MK$ — перпендикуляр к стороне $BC$, то $\angle MKC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $KMC$ — прямоугольный. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому: $\angle KMC + \angle MCK = 90^\circ$.
Заметим, что $\angle MCK$ — это тот же угол, что и $\angle BCA$ в треугольнике $ABC$. Таким образом, мы можем выразить $\angle KMC$: $\angle KMC = 90^\circ - \angle BCA$.

5. Подставим выражение для $\angle KMC$ из пункта 4 в равенство из пункта 3: $\angle MBC = 90^\circ - \angle BCA$.

6. Вернемся к тому, что $BM$ — биссектриса. Это означает, что $\angle ABC = 2 \cdot \angle MBC$. Используя равенство из пункта 5, получаем: $\angle ABC = 2 \cdot (90^\circ - \angle BCA) = 180^\circ - 2 \cdot \angle BCA$.

7. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$: $\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$.
Подставим в это равенство найденное выражение для $\angle ABC$: $\angle BAC + (180^\circ - 2 \cdot \angle BCA) + \angle BCA = 180^\circ$.

8. Упростим полученное уравнение: $\angle BAC + 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ$.
$\angle BAC - \angle BCA = 0$.
$\angle BAC = \angle BCA$.

9. В треугольнике $ABC$ углы при основании $AC$ равны. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла треугольника равны, то он является равнобедренным.

Ответ: Треугольник $ABC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

607. Постройте треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из этих сторон. Сколько решений может иметь задача?

608. Установите закономерность форм фигур, изображённых на рисунке 341. Какую фигуру надо поставить следующей?

Рис. 341

Для того чтобы определить, какую фигуру нужно поставить следующей, необходимо установить закономерность в представленном ряду.

Решение: Проанализировав последовательность фигур, можно выявить следующую закономерность: ряд состоит из пар фигур. В каждой паре вторая фигура является зеркальным отражением первой относительно горизонтальной оси. Таким образом, последовательность строится по схеме:

• Фигура 1, за ней Фигура 2 (вертикальное отражение Фигуры 1).
• Затем новая Фигура 3, за ней Фигура 4 (вертикальное отражение Фигуры 3).
• Затем новая Фигура 5, за ней Фигура 6 (вертикальное отражение Фигуры 5).
• И, наконец, Фигура 7, за которой должна следовать Фигура 8.

Следуя этой логике, восьмая фигура должна быть вертикальным (зеркальным относительно горизонтальной оси) отражением седьмой фигуры.

Рассмотрим седьмую фигуру. Она состоит из двух вертикальных отрезков ("ножек"), которые сверху соединены горизонтальным отрезком. На этом горизонтальном отрезке стоит "крыша" в виде угла, направленного вершиной вверх (похоже на символ ∧).

Теперь мысленно отразим эту фигуру вертикально:

1. Верхняя часть станет нижней, а нижняя — верхней.
2. Горизонтальный отрезок переместится вниз.
3. Две "ножки", которые были внизу, теперь будут идти вверх от концов горизонтального отрезка. Получится фигура, напоминающая чашу или букву U.
4. "Крыша" (∧), которая была наверху, отразится и превратится в угол, направленный вершиной вверх (V). Так как она стояла на горизонтальном отрезке, то после отражения она также будет стоять на этом отрезке, который теперь находится внизу.

В результате получится фигура, состоящая из основания в виде горизонтального отрезка, от концов которого вверх идут два вертикальных отрезка. Внутри этой U-образной конструкции, на середине основания, стоит фигура в виде латинской буквы V.

Ответ: Следующей нужно поставить фигуру, которая является вертикальным отражением седьмой фигуры. Это будет U-образная фигура с V-образной фигурой внутри, стоящей на основании.

608. Постройте треугольник по стороне, прилежащему углу и медиане, проведённой к данной стороне. Сколько решений может иметь задача?