Страница 150 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как делит хорду диаметр, перпендикулярный ей?

1. Как делит хорду диаметр, перпендикулярный ей?

Данный вопрос относится к одному из фундаментальных свойств окружности. Сформулируем и докажем соответствующую теорему.

Теорема: Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Проведем в ней хорду $AB$ и диаметр $CD$, такой что $CD \perp AB$. Обозначим точку их пересечения как $M$. Нам необходимо доказать, что точка $M$ делит хорду $AB$ пополам, то есть $AM = MB$.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Хорда $AB$ не является диаметром.

Соединим центр окружности $O$ с концами хорды — точками $A$ и $B$. Получим треугольник $\triangle OAB$.

• Стороны $OA$ и $OB$ этого треугольника являются радиусами окружности, следовательно, они равны: $OA = OB = R$.
• Это означает, что треугольник $\triangle OAB$ — равнобедренный с основанием $AB$.
• Отрезок $OM$ является частью диаметра $CD$. По условию задачи, $CD \perp AB$, значит, и отрезок $OM$ перпендикулярен $AB$. Таким образом, $OM$ является высотой в равнобедренном треугольнике $\triangle OAB$, проведенной к основанию.
• По свойству равнобедренного треугольника, высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.
• Так как $OM$ — медиана, она делит сторону, к которой проведена (основание $AB$), на две равные части.

Следовательно, $AM = MB$.

Случай 2: Хорда $AB$ является диаметром.

Если хорда $AB$ сама является диаметром, то она проходит через центр $O$. Любой другой диаметр $CD$, перпендикулярный $AB$, также пройдет через центр $O$. Точка их пересечения $M$ совпадет с центром $O$. Любой диаметр делится центром окружности пополам, так как каждая его половина ($AO$ и $OB$) равна радиусу. Таким образом, и в этом случае $AO = OB$, то есть хорда-диаметр делится пополам.

Мы доказали, что в обоих случаях диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

Ответ: Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

1. Как делит хорду диаметр, перпендикулярный ей?

2. Чему равен угол между хордой, отличной от диаметра, и диаметром, делящим эту хорду пополам?

Пусть в окружности с центром в точке $O$ проведена хорда $AB$, которая не является диаметром. Пусть также проведен диаметр $CD$, который пересекает хорду $AB$ в точке $M$ и делит ее пополам. По условию, $AM = MB$.

Для решения задачи рассмотрим треугольник $\triangle AOB$.

Стороны $OA$ и $OB$ этого треугольника являются радиусами данной окружности. Следовательно, их длины равны: $OA = OB$. Это означает, что треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Отрезок $OM$ соединяет вершину $O$ равнобедренного треугольника с точкой $M$, которая является серединой основания $AB$. Таким образом, $OM$ является медианой треугольника $\triangle AOB$, проведенной к основанию.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $OM$ перпендикулярен основанию $AB$.

Это означает, что угол между отрезком $OM$ и хордой $AB$ прямой, то есть $\angle OMA = 90^\circ$.

Диаметр $CD$ проходит через центр окружности $O$ и точку пересечения с хордой $M$, а значит, содержит в себе отрезок $OM$. Поэтому угол между диаметром $CD$ и хордой $AB$ равен углу между $OM$ и $AB$.

Следовательно, искомый угол равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2. Чему равен угол между хордой, отличной от диаметра, и диаметром, делящим эту хорду пополам?