Страница 145 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

538. Начертите отрезок $AB$, длина которого равна 3 см. Найдите точку, удалённую от каждого из концов отрезка $AB$ на 2 см. Сколько существует таких точек?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием окружности как геометрического места точек, равноудаленных от заданной точки (центра).

1. Сначала начертим отрезок $AB$ длиной 3 см с помощью линейки.

2. Нам нужно найти точку (назовем ее $C$), которая удалена от точки $A$ на 2 см и от точки $B$ на 2 см.

- Множество всех точек, удаленных от точки $A$ на 2 см, — это окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R_A = 2$ см.

- Множество всех точек, удаленных от точки $B$ на 2 см, — это окружность с центром в точке $B$ и радиусом $R_B = 2$ см.

3. Искомая точка $C$ должна удовлетворять обоим условиям одновременно, следовательно, она должна лежать на пересечении этих двух окружностей.

4. Для нахождения этих точек выполним построение с помощью циркуля:

- Установим раствор циркуля равным 2 см.

- Поставим острие циркуля в точку $A$ и начертим дугу окружности.

- Не меняя раствора циркуля, поставим острие в точку $B$ и начертим вторую дугу так, чтобы она пересекала первую.

5. Проанализируем результат. Расстояние между центрами окружностей (длина отрезка $AB$) равно 3 см. Сумма их радиусов равна $2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$. Так как расстояние между центрами меньше суммы радиусов ($3 \text{ см} < 4 \text{ см}$), окружности пересекаются. Точки пересечения и являются искомыми точками, так как они находятся на расстоянии 2 см от точки $A$ и на расстоянии 2 см от точки $B$.

Две окружности пересекаются в двух точках, которые расположены симметрично относительно прямой, содержащей отрезок $AB$. Таким образом, существует две такие точки.

Ответ: существует 2 такие точки.

538. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BM$, из точки $M$ на сторону $BC$ опущен перпендикуляр $MK$, $\angle ABM = \angle KMC$.

Докажите, что треугольник $ABC$ – равнобедренный.

539. Начертите отрезок $CD$, длина которого равна 4 см. Найдите точку, удалённую от точки $C$ на 2,5 см, а от точки $D$ на 3,5 см. Сколько существует таких точек?

Для решения этой задачи мы будем использовать метод геометрических мест точек. Искомая точка должна удовлетворять двум условиям одновременно: находиться на заданном расстоянии от точки $C$ и на заданном расстоянии от точки $D$.

1. Сначала начертим отрезок $CD$, длина которого равна 4 см.

2. Множество всех точек плоскости, удалённых от точки $C$ на расстояние 2,5 см, представляет собой окружность с центром в точке $C$ и радиусом $R_C = 2,5$ см. Построим эту окружность с помощью циркуля.

3. Аналогично, множество всех точек, удалённых от точки $D$ на расстояние 3,5 см, представляет собой окружность с центром в точке $D$ и радиусом $R_D = 3,5$ см. Построим эту окружность.

Точки, которые удовлетворяют обоим условиям, — это точки пересечения этих двух окружностей.

Чтобы определить количество таких точек, необходимо проанализировать взаимное расположение окружностей. Две окружности пересекаются в двух точках тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами (в нашем случае это длина отрезка $CD$) больше модуля разности их радиусов, но меньше их суммы.

Проверим это условие. У нас есть:

• Расстояние между центрами: $CD = 4$ см.
• Радиус первой окружности: $R_C = 2,5$ см.
• Радиус второй окружности: $R_D = 3,5$ см.

Сумма радиусов: $R_C + R_D = 2,5 + 3,5 = 6$ см.

Модуль разности радиусов: $|R_C - R_D| = |2,5 - 3,5| = |-1| = 1$ см.

Теперь проверим выполнение двойного неравенства: $|R_C - R_D| < CD < R_C + R_D$.

Подставляем наши значения: $1 \text{ см} < 4 \text{ см} < 6 \text{ см}$.

Неравенство верно. Это означает, что окружности пересекаются в двух различных точках. Каждая из этих точек удалена от точки $C$ на 2,5 см и от точки $D$ на 3,5 см. Эти две точки и являются решением задачи.

Ответ: Существует две такие точки.

539. Установите закономерность форм фигур, изображённых на рисунке 298. Какую фигуру надо поставить следующей?

Рис. 298

↑ ┬△ ┴△ ⟔ ▢⎣ ⌂ ⎿ ...

540. Начертите окружность, диаметр которой равен $7 \text{ см}$. Отметьте на окружности точку $A$. Найдите на окружности точки, удалённые от точки $A$ на $4 \text{ см}$.

Начертите окружность, диаметр которой равен 7 см.

Чтобы начертить окружность, сначала определим её радиус. Радиус $r$ равен половине диаметра $d$:
$r = \frac{d}{2} = \frac{7 \text{ см}}{2} = 3.5 \text{ см}$.
Далее, с помощью циркуля и линейки, выполняем построение:

1. Выбираем точку O — центр окружности.
2. Устанавливаем раствор циркуля на 3,5 см.
3. Ставим ножку циркуля в точку O и проводим окружность.

Отметьте на окружности точку А.

На построенной окружности выбираем любую точку и обозначаем её буквой А.

Найдите на окружности точки, удалённые от точки А на 4 см.

Искомые точки должны одновременно принадлежать исходной окружности и находиться на расстоянии 4 см от точки A.
Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии 4 см от точки A, — это окружность с центром в точке A и радиусом $R = 4$ см.
Таким образом, искомые точки являются точками пересечения двух окружностей:

• Исходной: с центром в O и радиусом $r = 3.5$ см.
• Вспомогательной: с центром в A и радиусом $R = 4$ см.

Для их нахождения выполним следующие шаги построения:

1. Устанавливаем раствор циркуля на 4 см.
2. Ставим ножку циркуля в точку A и проводим дугу, которая пересекает исходную окружность.
3. Полученные две точки пересечения (назовем их B и C) и являются искомыми.

Существует ровно две такие точки, так как расстояние между центрами окружностей O и A равно радиусу исходной окружности $OA = r = 3.5$ см, и для радиусов $r=3.5$ см и $R=4$ см выполняется неравенство, обеспечивающее пересечение в двух точках:
$|R-r| < OA < R+r$
$|4 - 3.5| < 3.5 < 4 + 3.5$
$0.5 \text{ см} < 3.5 \text{ см} < 7.5 \text{ см}$.
Неравенство верно, следовательно, окружности пересекаются в двух точках.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения исходной окружности и вспомогательной окружности с центром в точке А и радиусом 4 см. Таких точек две.

540. Начертите разносторонний остроугольный треугольник.

1) Пользуясь линейкой со шкалой и угольником, найдите центр окружности, описанной около данного треугольника.

2) Опишите около треугольника окружность.

Выполните задания 1 и 2 для разносторонних прямоугольного и тупоугольного треугольников.

541. На рисунке 323 изображена окружность с центром $B$. Укажите радиус, хорду и диаметр окружности. Сколько изображено на рисунке радиусов? хорд?

Рис. 323

Радиус: $BA$, $BK$.

Хорда: $MP$, $MA$.

Диаметр: $MA$.

На рисунке изображено 2 радиуса.

На рисунке изображено 2 хорды.

Укажите радиус, хорду и диаметр окружности.

На основании определений геометрических элементов окружности, изображенной на рисунке, можно указать следующее:
- Радиус — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней. Центром окружности является точка $B$. Примером радиуса может служить отрезок $BA$ (также радиусами являются $BK$ и $BM$).
- Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Примером хорды является отрезок $MP$ (также хордой является диаметр $MK$).
- Диаметр — это хорда, которая проходит через центр окружности. На данном рисунке диаметром является отрезок $MK$.
Ответ: радиус — $BA$, хорда — $MP$, диаметр — $MK$.

Сколько изображено на рисунке радиусов?

На рисунке изображены три отрезка, которые соединяют центр окружности, точку $B$, с точками на окружности ($A$, $K$, $M$). Эти отрезки являются радиусами.
Это отрезки: $BA$, $BK$, $BM$.
Ответ: 3.

Сколько изображено на рисунке хорд?

На рисунке изображены два отрезка, которые соединяют по две точки на окружности. Эти отрезки являются хордами.
Это отрезки: $MP$ и $MK$. Следует помнить, что диаметр ($MK$) является частным случаем хорды, причём самой длинной.
Ответ: 2.

541. Начертите:

1) равнобедренный остроугольный треугольник;

2) равнобедренный тупоугольный треугольник.

Выполните задания 1 и 2 из задания 540.

542. Внутри окружности отметили произвольную точку, отличную от её центра. Сколько через эту точку можно провести:

1) хорд;

2) диаметров?

1) хорд

Хорда — это отрезок, который соединяет две точки на окружности. Пусть нам дана произвольная точка А, расположенная внутри окружности.

Через любую точку на плоскости можно провести бесконечное множество прямых. Каждая прямая, проходящая через точку А, будет пересекать окружность в двух точках. Отрезок, соединяющий эти две точки, по определению является хордой.

Так как через точку А можно провести бесконечное число прямых, и каждая из них образует хорду, то через данную точку можно провести бесконечно много хорд.

Ответ: бесконечно много.

2) диаметров

Диаметр — это хорда, которая проходит через центр окружности. Обозначим центр окружности как О, а данную точку как А. По условию задачи, точка А не совпадает с центром окружности, то есть А ≠ О.

Чтобы через точку А прошел диаметр, он должен также проходить и через центр О. Следовательно, мы ищем прямую, которая проходит через две различные точки: А и О.

Согласно основной аксиоме геометрии, через две различные точки можно провести только одну прямую. Эта прямая пересечет окружность в двух точках, и отрезок между ними будет являться диаметром. Поскольку точка А лежит на этой прямой между центром и точкой на окружности, она принадлежит этому диаметру.

Так как существует только одна прямая, проходящая через центр О и точку А, то через точку А можно провести только один диаметр.

Ответ: один.

542. Перерисуйте в тетрадь рисунок 304. Проведите через точки $A, B, C$ окружность, пользуясь линейкой со шкалой, угольником и циркулем.

Рис. 304

543. На рисунке 324 точка O – центр окружности. Найдите:

1) угол O, если $\angle A = 42^{\circ}$;

2) угол B, если $\angle O = 76^{\circ}$.

Рис. 324

Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как точка $O$ является центром окружности, а точки $A$ и $B$ лежат на окружности, отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами этой окружности.

Следовательно, $OA = OB$. Это означает, что треугольник $AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle OAB = \angle OBA$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$.

1) угол O, если ∠A = 42°
По условию дано, что $\angle A = \angle OAB = 42^\circ$.
Так как треугольник $AOB$ равнобедренный, углы при основании равны: $\angle B = \angle OBA = \angle OAB = 42^\circ$.
Сумма углов треугольника $AOB$ равна $180^\circ$. Найдем угол $O$ ($\angle AOB$):
$\angle O = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$
$\angle O = 180^\circ - (42^\circ + 42^\circ)$
$\angle O = 180^\circ - 84^\circ$
$\angle O = 96^\circ$.
Ответ: $\angle O = 96^\circ$.

2) угол B, если ∠O = 76°
По условию дано, что $\angle O = \angle AOB = 76^\circ$.
Так как треугольник $AOB$ равнобедренный, углы при основании $A$ и $B$ равны: $\angle A = \angle B$.
Сумма углов треугольника $AOB$ равна $180^\circ$. Найдем сумму углов $A$ и $B$:
$\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle O$
$\angle A + \angle B = 180^\circ - 76^\circ$
$\angle A + \angle B = 104^\circ$.
Поскольку $\angle A = \angle B$, то каждый из этих углов равен половине их суммы:
$\angle B = \frac{104^\circ}{2} = 52^\circ$.
Ответ: $\angle B = 52^\circ$.

543. Начертите разносторонний треугольник.

1) Пользуясь линейкой и транспортиром, найдите центр окружности, вписанной в данный треугольник.

2) Пользуясь угольником, найдите точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

3) Впишите в данный треугольник окружность.

544. Хорды $AB$ и $CD$ окружности с центром $O$ равны. Докажите, что $\angle AOB = \angle COD$.

Для доказательства утверждения рассмотрим треугольники $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $, образованные хордами и радиусами, проведенными из центра окружности $O$ к концам этих хорд.

1. Отрезки $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ являются радиусами одной и той же окружности. Следовательно, они равны между собой: $OA = OB = OC = OD$.

2. По условию задачи дано, что хорды $AB$ и $CD$ равны: $AB = CD$.

Теперь сравним треугольники $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $. Мы установили, что у них равны три соответствующие стороны:

$OA = OC$ (как радиусы одной окружности),
$OB = OD$ (также как радиусы),
$AB = CD$ (по условию задачи).

Следовательно, треугольник $ \triangle AOB $ равен треугольнику $ \triangle COD $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, включая углы. В $ \triangle AOB $ угол $ \angle AOB $ лежит напротив стороны $AB$. В $ \triangle COD $ угол $ \angle COD $ лежит напротив стороны $CD$. Так как стороны $AB$ и $CD$ равны, то и противолежащие им углы также равны.

Таким образом, $ \angle AOB = \angle COD $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \angle AOB = \angle COD $ доказано на основании признака равенства треугольников по трем сторонам.

3) Впишите в данный треугольник окружность.

544. Начертите равнобедренный треугольник. Выполните задания 1, 2 и 3 из задания 543.

545. На рисунке 325 точка $O$ – центр окружности, $\angle COD = \angle MOK$. Докажите, что хорды $CD$ и $MK$ равны.

Рис. 325

Чтобы доказать, что хорды $CD$ и $MK$ равны, рассмотрим треугольники $ΔCOD$ и $ΔMOK$.

1. Точка $O$ — центр окружности. Отрезки $OC$, $OD$, $OM$ и $OK$ соединяют центр окружности с точками на ней, следовательно, все они являются радиусами этой окружности. Все радиусы одной окружности равны между собой, поэтому $OC = OD = OM = OK$.

2. По условию задачи, центральные углы $∠COD$ и $∠MOK$ равны: $∠COD = ∠MOK$.

3. Сравним треугольники $ΔCOD$ и $ΔMOK$. У них:

• Сторона $OC$ равна стороне $OM$ (как радиусы).
• Сторона $OD$ равна стороне $OK$ (как радиусы).
• Угол $∠COD$ между сторонами $OC$ и $OD$ равен углу $∠MOK$ между сторонами $OM$ и $OK$ (по условию).

Следовательно, треугольник $ΔCOD$ равен треугольнику $ΔMOK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. В равных треугольниках соответствующие стороны равны. Хорда $CD$ является третьей стороной треугольника $ΔCOD$, а хорда $MK$ — третьей стороной треугольника $ΔMOK$. Так как $ΔCOD = ΔMOK$, то и соответствующие стороны $CD$ и $MK$ равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство хорд $CD$ и $MK$ следует из равенства треугольников $ΔCOD$ и $ΔMOK$. Треугольники равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними), так как $OC=OM$ и $OD=OK$ как радиусы, а $∠COD = ∠MOK$ по условию.

545. Докажите, что центр описанной окружности равнобедренного треугольника принадлежит прямой, которая содержит медиану, проведённую к его основанию.

546. Отрезки $AB$ и $CD$ – диаметры окружности. Докажите, что $\angle BAC = \angle CDB$.

Поскольку отрезки AB и CD являются диаметрами окружности, точки A, B, C и D лежат на этой окружности.

Рассмотрим углы $ \angle BAC $ и $ \angle CDB $. Оба эти угла являются вписанными в окружность, так как их вершины (точки A и D соответственно) лежат на окружности, а их стороны пересекают окружность.

Вписанный угол $ \angle BAC $ опирается на дугу BC.

Вписанный угол $ \angle CDB $ также опирается на ту же самую дугу BC.

Согласно свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.

Следовательно, мы можем заключить, что $ \angle BAC = \angle CDB $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \angle BAC = \angle CDB $ доказано.

546. Докажите, что центр вписанной окружности равнобедренного треугольника принадлежит высоте, проведённой к его основанию.

547. Отрезки $MK$ и $EF$ – диаметры окружности с центром $O$, $MK = 12$ см, $ME = 10$ см. Найдите периметр треугольника $FOK$.

Решение:
Периметр треугольника $FOK$ равен сумме длин его сторон: $P_{\triangle FOK} = FO + OK + FK$.

1. Отрезки $MK$ и $EF$ являются диаметрами окружности с центром в точке $O$. Стороны $FO$ и $OK$ треугольника $FOK$ являются радиусами этой окружности.

2. Длина радиуса ($r$) равна половине длины диаметра ($d$). Поскольку диаметр $MK = 12$ см, радиус окружности равен:
$r = \frac{d}{2} = \frac{MK}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Следовательно, длины сторон $FO$ и $OK$ равны 6 см: $FO = OK = 6$ см.

3. Теперь найдем длину стороны $FK$. Для этого рассмотрим треугольники $\triangle MOE$ и $\triangle FOK$.

• $MO = OK$ (как радиусы одной и той же окружности).
• $EO = FO$ (как радиусы одной и той же окружности).
• $\angle MOE = \angle FOK$ (как вертикальные углы, образованные пересечением диаметров $MK$ и $EF$).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle MOE = \triangle FOK$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $FK$ в $\triangle FOK$ лежит напротив угла $\angle FOK$, а сторона $ME$ в $\triangle MOE$ лежит напротив равного ему угла $\angle MOE$. Следовательно, $FK = ME$.

По условию задачи $ME = 10$ см, значит, $FK = 10$ см.

4. Теперь мы можем вычислить периметр треугольника $FOK$:
$P_{\triangle FOK} = FO + OK + FK = 6 + 6 + 10 = 22$ см.

Ответ: 22 см.

547. Докажите, что если центр вписанной окружности треугольника принадлежит его высоте, то этот треугольник – равнобедренный.