Номер 538, страница 145 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 538, страница 145.

538. Начертите отрезок $AB$, длина которого равна 3 см. Найдите точку, удалённую от каждого из концов отрезка $AB$ на 2 см. Сколько существует таких точек?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием окружности как геометрического места точек, равноудаленных от заданной точки (центра).

1. Сначала начертим отрезок $AB$ длиной 3 см с помощью линейки.

2. Нам нужно найти точку (назовем ее $C$), которая удалена от точки $A$ на 2 см и от точки $B$ на 2 см.

- Множество всех точек, удаленных от точки $A$ на 2 см, — это окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R_A = 2$ см.

- Множество всех точек, удаленных от точки $B$ на 2 см, — это окружность с центром в точке $B$ и радиусом $R_B = 2$ см.

3. Искомая точка $C$ должна удовлетворять обоим условиям одновременно, следовательно, она должна лежать на пересечении этих двух окружностей.

4. Для нахождения этих точек выполним построение с помощью циркуля:

- Установим раствор циркуля равным 2 см.

- Поставим острие циркуля в точку $A$ и начертим дугу окружности.

- Не меняя раствора циркуля, поставим острие в точку $B$ и начертим вторую дугу так, чтобы она пересекала первую.

5. Проанализируем результат. Расстояние между центрами окружностей (длина отрезка $AB$) равно 3 см. Сумма их радиусов равна $2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$. Так как расстояние между центрами меньше суммы радиусов ($3 \text{ см} < 4 \text{ см}$), окружности пересекаются. Точки пересечения и являются искомыми точками, так как они находятся на расстоянии 2 см от точки $A$ и на расстоянии 2 см от точки $B$.

Две окружности пересекаются в двух точках, которые расположены симметрично относительно прямой, содержащей отрезок $AB$. Таким образом, существует две такие точки.

Ответ: существует 2 такие точки.

538. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BM$, из точки $M$ на сторону $BC$ опущен перпендикуляр $MK$, $\angle ABM = \angle KMC$.

Докажите, что треугольник $ABC$ – равнобедренный.