Номер 539, страница 145 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 539, страница 145.

539. Начертите отрезок $CD$, длина которого равна 4 см. Найдите точку, удалённую от точки $C$ на 2,5 см, а от точки $D$ на 3,5 см. Сколько существует таких точек?

Для решения этой задачи мы будем использовать метод геометрических мест точек. Искомая точка должна удовлетворять двум условиям одновременно: находиться на заданном расстоянии от точки $C$ и на заданном расстоянии от точки $D$.

1. Сначала начертим отрезок $CD$, длина которого равна 4 см.

2. Множество всех точек плоскости, удалённых от точки $C$ на расстояние 2,5 см, представляет собой окружность с центром в точке $C$ и радиусом $R_C = 2,5$ см. Построим эту окружность с помощью циркуля.

3. Аналогично, множество всех точек, удалённых от точки $D$ на расстояние 3,5 см, представляет собой окружность с центром в точке $D$ и радиусом $R_D = 3,5$ см. Построим эту окружность.

Точки, которые удовлетворяют обоим условиям, — это точки пересечения этих двух окружностей.

Чтобы определить количество таких точек, необходимо проанализировать взаимное расположение окружностей. Две окружности пересекаются в двух точках тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами (в нашем случае это длина отрезка $CD$) больше модуля разности их радиусов, но меньше их суммы.

Проверим это условие. У нас есть:

• Расстояние между центрами: $CD = 4$ см.
• Радиус первой окружности: $R_C = 2,5$ см.
• Радиус второй окружности: $R_D = 3,5$ см.

Сумма радиусов: $R_C + R_D = 2,5 + 3,5 = 6$ см.

Модуль разности радиусов: $|R_C - R_D| = |2,5 - 3,5| = |-1| = 1$ см.

Теперь проверим выполнение двойного неравенства: $|R_C - R_D| < CD < R_C + R_D$.

Подставляем наши значения: $1 \text{ см} < 4 \text{ см} < 6 \text{ см}$.

Неравенство верно. Это означает, что окружности пересекаются в двух различных точках. Каждая из этих точек удалена от точки $C$ на 2,5 см и от точки $D$ на 3,5 см. Эти две точки и являются решением задачи.

Ответ: Существует две такие точки.

539. Установите закономерность форм фигур, изображённых на рисунке 298. Какую фигуру надо поставить следующей?

Рис. 298

↑ ┬△ ┴△ ⟔ ▢⎣ ⌂ ⎿ ...