Номер 545, страница 145 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 545, страница 145.

545. На рисунке 325 точка $O$ – центр окружности, $\angle COD = \angle MOK$. Докажите, что хорды $CD$ и $MK$ равны.

Рис. 325

Чтобы доказать, что хорды $CD$ и $MK$ равны, рассмотрим треугольники $ΔCOD$ и $ΔMOK$.

1. Точка $O$ — центр окружности. Отрезки $OC$, $OD$, $OM$ и $OK$ соединяют центр окружности с точками на ней, следовательно, все они являются радиусами этой окружности. Все радиусы одной окружности равны между собой, поэтому $OC = OD = OM = OK$.

2. По условию задачи, центральные углы $∠COD$ и $∠MOK$ равны: $∠COD = ∠MOK$.

3. Сравним треугольники $ΔCOD$ и $ΔMOK$. У них:

• Сторона $OC$ равна стороне $OM$ (как радиусы).
• Сторона $OD$ равна стороне $OK$ (как радиусы).
• Угол $∠COD$ между сторонами $OC$ и $OD$ равен углу $∠MOK$ между сторонами $OM$ и $OK$ (по условию).

Следовательно, треугольник $ΔCOD$ равен треугольнику $ΔMOK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. В равных треугольниках соответствующие стороны равны. Хорда $CD$ является третьей стороной треугольника $ΔCOD$, а хорда $MK$ — третьей стороной треугольника $ΔMOK$. Так как $ΔCOD = ΔMOK$, то и соответствующие стороны $CD$ и $MK$ равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство хорд $CD$ и $MK$ следует из равенства треугольников $ΔCOD$ и $ΔMOK$. Треугольники равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними), так как $OC=OM$ и $OD=OK$ как радиусы, а $∠COD = ∠MOK$ по условию.

545. Докажите, что центр описанной окружности равнобедренного треугольника принадлежит прямой, которая содержит медиану, проведённую к его основанию.