Номер 547, страница 145 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 547, страница 145.

547. Отрезки $MK$ и $EF$ – диаметры окружности с центром $O$, $MK = 12$ см, $ME = 10$ см. Найдите периметр треугольника $FOK$.

Решение:
Периметр треугольника $FOK$ равен сумме длин его сторон: $P_{\triangle FOK} = FO + OK + FK$.

1. Отрезки $MK$ и $EF$ являются диаметрами окружности с центром в точке $O$. Стороны $FO$ и $OK$ треугольника $FOK$ являются радиусами этой окружности.

2. Длина радиуса ($r$) равна половине длины диаметра ($d$). Поскольку диаметр $MK = 12$ см, радиус окружности равен:
$r = \frac{d}{2} = \frac{MK}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Следовательно, длины сторон $FO$ и $OK$ равны 6 см: $FO = OK = 6$ см.

3. Теперь найдем длину стороны $FK$. Для этого рассмотрим треугольники $\triangle MOE$ и $\triangle FOK$.

• $MO = OK$ (как радиусы одной и той же окружности).
• $EO = FO$ (как радиусы одной и той же окружности).
• $\angle MOE = \angle FOK$ (как вертикальные углы, образованные пересечением диаметров $MK$ и $EF$).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle MOE = \triangle FOK$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $FK$ в $\triangle FOK$ лежит напротив угла $\angle FOK$, а сторона $ME$ в $\triangle MOE$ лежит напротив равного ему угла $\angle MOE$. Следовательно, $FK = ME$.

По условию задачи $ME = 10$ см, значит, $FK = 10$ см.

4. Теперь мы можем вычислить периметр треугольника $FOK$:
$P_{\triangle FOK} = FO + OK + FK = 6 + 6 + 10 = 22$ см.

Ответ: 22 см.

547. Докажите, что если центр вписанной окружности треугольника принадлежит его высоте, то этот треугольник – равнобедренный.