Номер 552, страница 146 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 552, страница 146.

552. Отрезок CD – диаметр окружности с центром O. На окружности отметили точку E так, что $\angle COE = 90^\circ$. Докажите, что $CE = DE$.

Рассмотрим треугольники $\triangle COE$ и $\triangle DOE$.

1. Так как $CD$ – диаметр окружности с центром в точке $O$, а точка $E$ лежит на этой окружности, то отрезки $OC$, $OD$ и $OE$ являются радиусами данной окружности. Следовательно, их длины равны:

$OC = OD = OE$

2. Поскольку точки $C$, $O$, $D$ лежат на одной прямой (диаметре), угол $\angle COD$ является развернутым, то есть $\angle COD = 180^\circ$. Этот угол образован двумя смежными углами $\angle COE$ и $\angle DOE$.

3. По условию задачи $\angle COE = 90^\circ$. Найдем величину угла $\angle DOE$:

$\angle DOE = \angle COD - \angle COE = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

4. Теперь сравним треугольники $\triangle COE$ и $\triangle DOE$. В этих треугольниках:

- Сторона $OC$ равна стороне $OD$ (как радиусы).
- Сторона $OE$ является общей.
- Угол $\angle COE$ равен углу $\angle DOE$ (оба равны $90^\circ$).

Таким образом, треугольник $\triangle COE$ равен треугольнику $\triangle DOE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $CE$ в $\triangle COE$ соответствует стороне $DE$ в $\triangle DOE$.

Ответ: $CE = DE$, что и требовалось доказать.

552. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$ (рис. 307), касается его сторон в точках $M$, $K$ и $E$, $BK = 2$ см, $KC = 4$ см, $AM = 8$ см. Найдите периметр треугольника $ABC$.

Рис. 307