Номер 559, страница 146 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 559, страница 146.

559. Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку.

Пусть дана точка $A$ и заданный радиус $R > 0$. Мы ищем геометрическое место точек $O$, которые являются центрами окружностей радиуса $R$, проходящих через точку $A$.

По определению, окружность — это множество всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии (радиусе) от заданной точки (центра).

Если окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$ проходит через точку $A$, это означает, что точка $A$ принадлежит этой окружности. Следовательно, расстояние от центра $O$ до точки $A$ должно быть равно радиусу $R$.

Это условие можно записать в виде формулы: $|OA| = R$.

Таким образом, все искомые центры $O$ должны быть равноудалены от данной точки $A$ на расстояние $R$.

Множество всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, и есть окружность. В нашем случае центром этой окружности будет данная точка $A$, а ее радиусом — данный радиус $R$.

Следовательно, геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку, — это окружность с центром в этой данной точке и радиусом, равным данному радиусу.

Ответ: Окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному радиусу.

559. В треугольник с углами $30^\circ$, $70^\circ$ и $80^\circ$ вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.