Номер 556, страница 146 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 556, страница 146.

556. Отрезки $AB$ и $CD$ – диаметры окружности. Докажите, что $AC \parallel BD$.

Пусть O — центр окружности. Поскольку отрезки AB и CD являются диаметрами, они пересекаются в центре окружности O и делятся им пополам. Следовательно, $OA = OB = OC = OD$ как радиусы одной и той же окружности.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$. В этих треугольниках:
• $OA = OB$ (как радиусы);
• $OC = OD$ (как радиусы);
• $\angle AOC = \angle BOD$ (как вертикальные углы).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOC \cong \triangle BOD$.

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов, а именно $\angle OAC = \angle OBD$.

Углы $\angle OAC$ и $\angle OBD$ являются накрест лежащими при пересечении прямых AC и BD секущей AB.

Так как накрест лежащие углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые AC и BD параллельны.

Таким образом, $AC \parallel BD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AC \parallel BD$.

556. Докажите, что если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник равносторонний.