Номер 557, страница 146 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 557, страница 146.

557. Хорда пересекает диаметр окружности под углом $30^{\circ}$ и делит его на отрезки длиной 4 см и 10 см. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

Пусть дан диаметр $AB$ и хорда $CD$, которые пересекаются в точке $P$ под углом $30^{\circ}$. По условию, точка $P$ делит диаметр на отрезки длиной 4 см и 10 см.

1. Найдем длину диаметра и радиус окружности.Длина диаметра $AB$ равна сумме длин отрезков, на которые он разделен:$AB = 4 \text{ см} + 10 \text{ см} = 14 \text{ см}$.Радиус окружности $R$ равен половине диаметра:$R = \frac{AB}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ см}$.

2. Найдем расстояние от центра окружности $O$ до точки пересечения $P$.Центр окружности $O$ является серединой диаметра $AB$. Расстояние от центра до одного из концов диаметра (например, до точки $A$) равно радиусу: $OA = R = 7$ см.Предположим, что отрезок $AP$ имеет длину 4 см. Тогда расстояние от центра $O$ до точки пересечения $P$ будет равно:$OP = OA - AP = 7 - 4 = 3 \text{ см}$.(Проверка: $OP = PB - OB = 10 - 7 = 3$ см, что подтверждает наш расчет).

3. Найдем искомое расстояние от центра окружности до хорды.Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра $O$ на хорду $CD$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $H$. Таким образом, нам нужно найти длину отрезка $OH$, где $OH \perp CD$.Рассмотрим треугольник $\triangle OPH$. Он является прямоугольным, так как $\angle OHP = 90^{\circ}$ по построению. В этом треугольнике нам известны:

• гипотенуза $OP = 3$ см;
• угол $\angle OPH = 30^{\circ}$ (это угол между хордой и диаметром).

Катет $OH$ лежит напротив угла в $30^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Следовательно:$OH = \frac{1}{2} \cdot OP = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5 \text{ см}$.

Ответ: 1,5 см.

557. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 7 : 5, считая от вершины треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 68 см.