Номер 560, страница 146 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 560, страница 146.

560. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

Пусть даны две различные точки, назовем их $A$ и $B$.

Искомое геометрическое место точек — это множество всех точек $O$, которые могут быть центрами окружностей, проходящих через точки $A$ и $B$.

Если окружность с центром в точке $O$ проходит через точки $A$ и $B$, то расстояния от центра до этих точек равны радиусу $R$ этой окружности. Таким образом, должно выполняться равенство:

$OA = OB = R$

Это означает, что любая точка $O$, принадлежащая искомому геометрическому месту, должна быть равноудалена от точек $A$ и $B$.

Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек ($A$ и $B$), представляет собой прямую, перпендикулярную отрезку $AB$ и проходящую через его середину. Эта прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Докажем, что искомое геометрическое место точек в точности совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

1. Возьмем любую окружность, проходящую через точки $A$ и $B$. Пусть ее центр находится в точке $O$. Так как $A$ и $B$ лежат на окружности, то $OA = OB$. Следовательно, точка $O$ равноудалена от $A$ и $B$, а значит, по определению, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

2. Возьмем любую точку $O$ на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. По свойству серединного перпендикуляра, эта точка равноудалена от концов отрезка: $OA = OB$. Если мы проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$, то она пройдет через точку $A$ и через точку $B$, так как $OB$ тоже равно $R$.

Таким образом, мы показали, что любая точка из искомого множества центров лежит на серединном перпендикуляре, и любая точка на серединном перпендикуляре принадлежит этому множеству. Следовательно, эти два множества совпадают.

Ответ: Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

560. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$, касается его боковых сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что $MN \parallel AC$.