Номер 549, страница 146 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 549, страница 146.

549. Отрезки $MP$ и $MK$ соответственно хорда и диаметр окружности с центром $O$, $\angle POK = 84^\circ$ (рис. 327). Найдите угол $MPO$.

Рис. 327

Рассмотрим треугольник $MPO$. Поскольку отрезки $OM$ и $OP$ являются радиусами окружности с центром в точке $O$, они равны между собой: $OM = OP$.

Это означает, что треугольник $MPO$ является равнобедренным с основанием $MP$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle MPO = \angle OMP$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Для треугольника $MPO$ справедливо равенство:$\angle MPO + \angle OMP + \angle MOP = 180^\circ$.

Так как $\angle MPO = \angle OMP$, мы можем переписать это уравнение следующим образом:$2 \cdot \angle MPO + \angle MOP = 180^\circ$.

Из этого уравнения можно выразить искомый угол $\angle MPO$:$\angle MPO = \frac{180^\circ - \angle MOP}{2}$.

Теперь необходимо найти угол $\angle MOP$. Из условия задачи известно, что $MK$ — это диаметр. Следовательно, угол $\angle MOK$ является развернутым и его величина равна $180^\circ$. Углы $\angle MOP$ и $\angle POK$ являются смежными, поэтому их сумма равна величине развернутого угла:$\angle MOP + \angle POK = 180^\circ$.

По условию $\angle POK = 84^\circ$. Найдем величину угла $\angle MOP$:$\angle MOP = 180^\circ - \angle POK = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$.

Подставим найденное значение $\angle MOP$ в формулу для вычисления угла $\angle MPO$:$\angle MPO = \frac{180^\circ - 96^\circ}{2} = \frac{84^\circ}{2} = 42^\circ$.

Ответ: $42^\circ$.

549. На рисунке 305 в треугольники $ABD$ и $CBD$ вписаны окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно. Докажите, что $\angle O_1DO_2$ – прямой.

Рис. 305