Страница 144 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое множество точек называют геометрическим местом точек?

Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, которые обладают определённым свойством (или набором свойств).

Важно понимать, что это множество должно удовлетворять двум условиям:

1. Каждая точка, принадлежащая этому множеству, обладает заданным свойством.
2. Каждая точка, обладающая заданным свойством, принадлежит этому множеству (иными словами, ни одна точка вне этого множества заданным свойством не обладает).

Таким образом, геометрическое место точек — это фигура, которая полностью определяется некоторым свойством.

Примеры геометрических мест точек:

• Окружность — это геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до данной точки (называемой центром) равно заданному положительному числу (называемому радиусом). Если центр окружности — точка $O$, а радиус — $R$, то любая точка $M$ на окружности удовлетворяет условию $OM = R$.

• Серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от концов этого отрезка. Для отрезка $AB$ любая точка $M$ на серединном перпендикуляре удовлетворяет условию $AM = BM$.

• Биссектриса угла — это геометрическое место точек, лежащих внутри угла и равноудалённых от его сторон.

• Пара параллельных прямых, расположенных по разные стороны от данной прямой $a$ на расстоянии $d$, — это геометрическое место точек, удалённых от прямой $a$ на расстояние $d$.

Ответ: Геометрическим местом точек называют множество, которое состоит из всех точек, обладающих определенным свойством, и не содержит никаких других точек.

1. Какое множество точек называют геометрическим местом точек?

2. Какие две теоремы надо доказать, чтобы иметь право утверждать, что некоторое множество точек является ГМТ?

Чтобы иметь право утверждать, что некоторое множество точек (назовем его фигура $F$) является геометрическим местом точек (ГМТ) для определенного свойства $P$, необходимо доказать две взаимно обратные теоремы.

Первая теорема (прямая теорема)

Необходимо доказать, что любая точка, обладающая заданным свойством $P$, принадлежит фигуре $F$. Эта теорема устанавливает, что все точки, удовлетворяющие условию, содержатся в данной фигуре и не могут находиться вне ее. Другими словами, если точка $M$ обладает свойством $P$, то она принадлежит фигуре $F$.

Вторая теорема (обратная теорема)

Необходимо доказать, что любая точка, принадлежащая фигуре $F$, обладает заданным свойством $P$. Эта теорема устанавливает, что в фигуре $F$ нет "посторонних" точек, которые не удовлетворяли бы нужному свойству. Другими словами, если точка $N$ принадлежит фигуре $F$, то она обладает свойством $P$.

Доказательство этих двух теорем в совокупности означает, что множество точек, обладающих свойством $P$, и множество точек, составляющих фигуру $F$, полностью совпадают. Это и является определением геометрического места точек.

Ответ: Необходимо доказать две теоремы: 1) прямую, что каждая точка, обладающая данным свойством, принадлежит этому множеству, и 2) обратную, что каждая точка этого множества обладает данным свойством.

2. Какие две теоремы надо доказать, чтобы иметь право утверждать, что некоторое множество точек является ГМТ?

3. Какая фигура является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка?

Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка, является прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину. Такая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку.

Доказательство

Доказательство состоит из двух частей: прямой и обратной теорем.

1. Прямая теорема: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

Пусть дан отрезок $AB$ и прямая $m$, являющаяся его серединным перпендикуляром. Прямая $m$ пересекает отрезок $AB$ в его середине, точке $O$, и $m \perp AB$.

Возьмем на прямой $m$ произвольную точку $M$. Соединим точку $M$ с концами отрезка $A$ и $B$. Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle BOM$.

В этих треугольниках:

• $AO = BO$, так как $O$ — середина отрезка $AB$.
• Сторона $MO$ — общая.
• $\angle AOM = \angle BOM = 90^\circ$, так как $m \perp AB$.

Следовательно, $\triangle AOM = \triangle BOM$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AM = BM$.

Это доказывает, что любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка.

2. Обратная теорема: Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.

Пусть точка $M$ равноудалена от концов отрезка $AB$, то есть $AM = BM$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Так как $AM = BM$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$.

Проведем медиану $MO$ к основанию $AB$ (где $O$ — середина $AB$). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Следовательно, $MO \perp AB$.

Таким образом, точка $M$ лежит на прямой, которая проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярна ему. Эта прямая и есть серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

Из двух доказанных теорем следует, что искомым геометрическим местом точек является серединный перпендикуляр.

Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку.

3. Какая фигура является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка?

4. Какая фигура является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон?

Геометрическим местом точек (ГМТ), принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон, является биссектриса этого угла.

Докажем это утверждение в два этапа.

Пусть нам дан угол $ \angle AOB $ с вершиной в точке $ O $. Мы ищем множество всех точек $ M $, которые принадлежат углу (находятся внутри или на его сторонах) и для которых расстояние до стороны $ OA $ равно расстоянию до стороны $ OB $.

1. Доказательство того, что любая точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон.

Пусть луч $ OK $ — биссектриса угла $ \angle AOB $. Возьмем на этом луче произвольную точку $ M $. Расстояние от точки до прямой (стороны угла) — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Опустим из точки $ M $ перпендикуляры $ MC $ на сторону $ OA $ и $ MD $ на сторону $ OB $.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ \triangle OCM $ и $ \triangle ODM $. Гипотенуза $ OM $ у них общая. Углы $ \angle COM $ и $ \angle DOM $ равны, так как $ OK $ — биссектриса. Следовательно, треугольники $ \triangle OCM $ и $ \triangle ODM $ равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $ MC = MD $. Это означает, что точка $ M $ равноудалена от сторон угла.

2. Доказательство того, что любая точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе.

Пусть точка $ M $ находится внутри угла $ \angle AOB $ и равноудалена от его сторон. Опустим из точки $ M $ перпендикуляры $ MC $ на сторону $ OA $ и $ MD $ на сторону $ OB $. По условию, их длины равны: $ MC = MD $.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ \triangle OCM $ и $ \triangle ODM $. Гипотенуза $ OM $ у них общая. Катеты $ MC $ и $ MD $ равны по условию. Следовательно, треугольники $ \triangle OCM $ и $ \triangle ODM $ равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $ \angle COM = \angle DOM $. А это означает, что луч $ OM $ является биссектрисой угла $ \angle AOB $, и точка $ M $ лежит на ней.

Таким образом, мы доказали, что множество всех точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон, в точности совпадает с биссектрисой этого угла.

Ответ: Биссектриса этого угла.

4. Какая фигура является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон?

5. Что называют окружностью?

Окружностью называется геометрическое место точек (ГМТ) на плоскости, равноудалённых от одной заданной точки, называемой центром окружности. Заданное расстояние от центра до любой точки окружности называется её радиусом. Иными словами, окружность — это замкнутая плоская кривая, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра.

Основные элементы, связанные с окружностью:
Центр – точка (обычно обозначается буквой $O$), равноудалённая от всех точек окружности.
Радиус (обозначается $R$ или $r$) – отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Длина этого отрезка также называется радиусом.
Диаметр (обозначается $D$ или $d$) – отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр. Длина диаметра равна двум радиусам: $D=2R$.
Хорда – отрезок, соединяющий две любые точки окружности. Диаметр является самой длинной хордой.

В декартовой системе координат окружность с центром в точке $C(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ задаётся следующим уравнением:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
Если центр окружности совпадает с началом координат, то есть точка $O(0,0)$, уравнение упрощается до вида:
$x^2 + y^2 = R^2$.

Ответ: Окружностью называется геометрическая фигура на плоскости, состоящая из всех точек, которые находятся на одинаковом заданном расстоянии от данной точки, называемой центром.

5. Что называют окружностью?

6. Что называют радиусом окружности? Что называют хордой окружности? Что называют диаметром окружности?

Что называют радиусом окружности?

Радиус окружности — это отрезок, соединяющий её центр с любой точкой, лежащей на самой окружности. Также под радиусом понимают длину этого отрезка. Обычно его обозначают латинской буквой $r$ или $R$. Все радиусы одной и той же окружности равны между собой.

Ответ: Радиусом окружности называют отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

Что называют хордой окружности?

Хорда окружности — это отрезок, который соединяет две произвольные точки, лежащие на этой окружности. Любой диаметр является хордой, причём самой длинной из всех возможных хорд в данной окружности.

Ответ: Хордой окружности называют отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Что называют диаметром окружности?

Диаметр окружности — это хорда, которая проходит через её центр. Длина этого отрезка также называется диаметром и обозначается латинской буквой $d$ или $D$. Диаметр является самой длинной хордой окружности. Его длина всегда в два раза больше длины радиуса, что выражается формулой: $d = 2r$.

Ответ: Диаметром окружности называют хорду, которая проходит через её центр.

6. Что называют радиусом окружности?

7. Как связаны между собой диаметр и радиус окружности?

Диаметр и радиус окружности — это две тесно связанные между собой величины. Их связь вытекает непосредственно из их определений.

Радиус (обычно обозначается как $r$) — это отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, находящейся на этой окружности.

Диаметр (обычно обозначается как $d$) — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и обязательно проходит через её центр.

Из этих определений следует, что диаметр состоит из двух радиусов, которые лежат на одной прямой по разные стороны от центра. Таким образом, длина диаметра всегда ровно в два раза больше длины радиуса.

Эту взаимосвязь можно выразить с помощью следующих математических формул:
Формула для нахождения диаметра, зная радиус:
$d = 2 \cdot r$
Формула для нахождения радиуса, зная диаметр:
$r = \frac{d}{2}$

Например, если радиус окружности равен 5 см, то её диаметр будет равен $2 \cdot 5 = 10$ см. И наоборот, если известен диаметр, равный 30 м, то радиус этой окружности будет равен $\frac{30}{2} = 15$ м.

Ответ: Диаметр окружности в два раза больше её радиуса. Это можно записать в виде формулы $d = 2r$. Соответственно, радиус в два раза меньше диаметра, что выражается формулой $r = d/2$.

7. Что называют хордой окружности?

8. Что называют кругом?

Кругом называют геометрическую фигуру на плоскости, которая состоит из всех точек, расстояние от которых до одной заданной точки (называемой центром круга) не превышает заданного неотрицательного числа (называемого радиусом круга).

Таким образом, круг включает в себя свою границу, которая называется окружностью, и все точки, находящиеся внутри этой границы. Окружность — это множество точек, равноудалённых от центра.

Если центр круга находится в точке с координатами $O(x_0, y_0)$ и его радиус равен $r$, то любая точка $M(x, y)$, принадлежащая этому кругу, будет удовлетворять неравенству:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \le r^2$

В случае, когда радиус равен нулю ($r=0$), круг представляет собой одну точку — свой центр.

Ответ: Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая в себя как саму окружность, так и все точки, расположенные внутри неё.

8. Что называют диаметром окружности?

537. Начертите окружность с центром $O$ и радиусом $3.5\text{ см}$. Отметьте на этом рисунке какие-нибудь:

1) точки $A$ и $B$, такие, что $OA < 3.5\text{ см}$, $OB < 3.5\text{ см}$;

2) точки $C$ и $D$, такие, что $OC = 3.5\text{ см}$, $OD = 3.5\text{ см}$;

3) точки $E$ и $F$, такие, что $OE > 3.5\text{ см}$, $OF > 3.5\text{ см}$.

Сначала необходимо начертить окружность с центром в точке O и радиусом $R = 3,5$ см. Для этого используется циркуль: игла циркуля устанавливается в точку O, а расстояние до грифеля выставляется равным 3,5 см. Затем проводится замкнутая кривая.

После того как окружность начерчена, на рисунке отмечаются точки в соответствии с заданными условиями.

1) точки А и В, такие, что OA < 3,5 см, OB < 3,5 см;

Условие $OA < 3,5$ см означает, что расстояние от центра окружности O до точки A меньше радиуса окружности. Аналогично для точки B: $OB < 3,5$ см. Множество всех точек, расстояние от которых до центра меньше радиуса, образует круг (внутреннюю область окружности). Следовательно, точки A и B должны быть расположены в любом месте внутри окружности, но не на самой её линии.

Ответ: Точки A и B расположены внутри окружности.

2) точки С и D, такие, что OC = 3,5 см, OD = 3,5 см;

По определению, окружность — это множество всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии (радиусе) от заданной точки (центра). Условие $OC = 3,5$ см и $OD = 3,5$ см означает, что расстояние от точек C и D до центра O в точности равно радиусу. Таким образом, точки C и D должны лежать непосредственно на линии начерченной окружности.

Ответ: Точки C и D расположены на окружности.

3) точки Е и F, такие, что OE > 3,5 см, OF > 3,5 см.

Условие $OE > 3,5$ см означает, что расстояние от точки E до центра O больше, чем радиус окружности. То же самое справедливо и для точки F ($OF > 3,5$ см). Все точки, расстояние от которых до центра больше радиуса, находятся за пределами окружности. Следовательно, точки E и F должны быть расположены в любом месте на плоскости вне начерченной окружности.

Ответ: Точки E и F расположены вне окружности.

537. На стороне $MK$ треугольника $MPK$ отметили точки $E$ и $F$ так, что точка $E$ лежит между точками $M$ и $F$, $ME = EP$, $PF = FK$. Найдите угол $M$, если $\angle EPF = 92^\circ$, $\angle K = 26^\circ$.