Страница 137 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

8. В треугольнике ABC биссектрисы углов A и C пересекаются в точке O. Какое из следующих равенств верно?

A) $ \angle AOC = 90^\circ - \frac{1}{2} \angle B $

B) $ \angle AOC = 90^\circ + \frac{1}{2} \angle B $

Б) $ \angle AOC = 90^\circ - \angle B $

Г) $ \angle AOC = 90^\circ + \angle B $

Для нахождения угла $∠AOC$ воспользуемся свойством о сумме углов треугольника, которая составляет 180°.

Сначала рассмотрим треугольник $AOC$. Сумма его углов равна 180°:
$∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180°$

По условию, $AO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $A$ и $C$ соответственно. Это значит, что они делят эти углы пополам:
$∠OAC = \frac{1}{2}∠A$
$∠OCA = \frac{1}{2}∠C$

Подставим эти выражения в формулу для суммы углов треугольника $AOC$:
$∠AOC + \frac{1}{2}∠A + \frac{1}{2}∠C = 180°$
$∠AOC + \frac{1}{2}(∠A + ∠C) = 180°$

Теперь рассмотрим исходный треугольник $ABC$. Сумма его углов также равна 180°:
$∠A + ∠B + ∠C = 180°$
Выразим из этого равенства сумму углов $A$ и $C$ через угол $B$:
$∠A + ∠C = 180° - ∠B$

Наконец, подставим полученное выражение для $(∠A + ∠C)$ в уравнение для треугольника $AOC$:
$∠AOC + \frac{1}{2}(180° - ∠B) = 180°$
Раскроем скобки:
$∠AOC + 90° - \frac{1}{2}∠B = 180°$
Выразим $∠AOC$:
$∠AOC = 180° - 90° + \frac{1}{2}∠B$
$∠AOC = 90° + \frac{1}{2}∠B$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что верным является равенство, указанное в пункте В).

Ответ: В) $∠AOC = 90° + \frac{1}{2}∠B$

8. В треугольнике ABC биссектрисы углов A и C пересекаются в точке O. Какое из следующих равенств верно?

А) $\angle AOC = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle B$

В) $\angle AOC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle B$

Б) $\angle AOC = 90^\circ - \angle B$

Г) $\angle AOC = 90^\circ + \angle B$

9. В треугольнике ABC высоты, проведённые из вершин A и C, пересекаются в точке O. Какое из следующих равенств верно?

А) $\angle AOC = 90^\circ - \angle B$В) $\angle AOC = 90^\circ + \angle B$

Б) $\angle AOC = 180^\circ - \angle B$Г) $\angle AOC = 180^\circ - \frac{1}{2}\angle B$

Пусть $AD$ и $CE$ — высоты треугольника $ABC$, проведённые из вершин $A$ и $C$ соответственно. Точка $O$ — точка их пересечения. По определению высоты, прямая $AD$ перпендикулярна прямой $BC$, а прямая $CE$ перпендикулярна прямой $AB$. Следовательно, в точках их пересечения образуются прямые углы: $\angle ODB = 90^\circ$ и $\angle OEB = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $BEDO$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$:$\angle EBD + \angle BDO + \angle DOE + \angle OEB = 360^\circ$

Угол $\angle EBD$ является углом $\angle B$ исходного треугольника $ABC$. Подставив известные значения углов $BDO$ и $OEB$ в уравнение, получаем:$\angle B + 90^\circ + \angle DOE + 90^\circ = 360^\circ$

Упростим это выражение:$\angle B + \angle DOE + 180^\circ = 360^\circ$$\angle DOE = 360^\circ - 180^\circ - \angle B$$\angle DOE = 180^\circ - \angle B$

Углы $\angle AOC$ и $\angle DOE$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых (высот) $AD$ и $CE$. Вертикальные углы равны между собой, поэтому:$\angle AOC = \angle DOE$

Из этого следует, что искомый угол $\angle AOC$ равен:$\angle AOC = 180^\circ - \angle B$

Среди предложенных вариантов это равенство соответствует варианту Б).

Ответ: Б

9. В треугольнике $ABC$ высоты, проведённые из вершин $A$ и $C$, пересекаются в точке $O$. Какое из следующих равенств верно?

А) $\angle AOC = 90^\circ - \angle B$

В) $\angle AOC = 90^\circ + \angle B$

Б) $\angle AOC = 180^\circ - \angle B$

Г) $\angle AOC = 180^\circ - \frac{1}{2}\angle B$

10. Какое из следующих утверждений верно?

А) если две стороны одного прямоугольного треугольника равны двум сторонам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Б) если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

В) если гипотенуза и два угла одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и двум углам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Г) если сторона и два угла одного прямоугольного треугольника равны стороне и двум углам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Проанализируем каждое утверждение, чтобы определить, какое из них является верным признаком равенства прямоугольных треугольников.

А) если две стороны одного прямоугольного треугольника равны двум сторонам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Это утверждение в общем случае неверно. Оно не уточняет, какие именно стороны равны (два катета, или катет и гипотенуза). Рассмотрим контрпример.
Пусть первый прямоугольный треугольник $T_1$ имеет катеты $a_1 = 5$ и $b_1 = 12$. Его гипотенуза $c_1$ по теореме Пифагора равна:
$c_1 = \sqrt{a_1^2 + b_1^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
Стороны этого треугольника: 5, 12, 13.
Пусть второй прямоугольный треугольник $T_2$ имеет катет $a_2 = 5$ и гипотенузу $c_2 = 12$. Его второй катет $b_2$ равен:
$b_2 = \sqrt{c_2^2 - a_2^2} = \sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}$.
Стороны этого треугольника: 5, $\sqrt{119}$, 12.
Две стороны треугольника $T_1$ (катеты 5 и 12) равны по значению двум сторонам треугольника $T_2$ (катету 5 и гипотенузе 12). Однако сами треугольники $T_1$ и $T_2$ не равны, так как их третьи стороны не равны ($13 \neq \sqrt{119}$).
Следовательно, утверждение А неверно.
Ответ: неверно.

Б) если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Это утверждение является одним из стандартных признаков равенства прямоугольных треугольников. Рассмотрим два возможных случая:
1. Острый угол прилежит к данному катету. В этом случае треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Стороной является данный катет, а прилежащими углами — данный острый угол и прямой угол ($90^\circ$).
2. Острый угол противолежит данному катету. В этом случае треугольники также равны по признаку равенства треугольников по стороне и двум углам. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, а один угол прямой ($90^\circ$), то, зная один острый угол, мы можем найти и второй. Таким образом, у нас есть сторона и все три угла, что гарантирует равенство треугольников (признак AAS).
В обоих случаях треугольники равны. Следовательно, утверждение Б верно.
Ответ: верно.

В) если гипотенуза и два угла одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и двум углам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Это утверждение верно, но сформулировано избыточно. В прямоугольном треугольнике один угол всегда равен $90^\circ$. Сумма двух острых углов также равна $90^\circ$. Поэтому, если известен один острый угол, второй однозначно определяется. Условие равенства "двух углов" эквивалентно условию равенства одного острого угла.
Таким образом, утверждение сводится к признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Это известный признак равенства, который следует из общего признака равенства треугольников по стороне и двум углам (AAS).
Хотя утверждение истинно с точки зрения логики, его формулировка не является стандартной и содержит избыточную информацию.
Ответ: верно.

Г) если сторона и два угла одного прямоугольного треугольника равны стороне и двум углам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Это утверждение является общим признаком равенства для любых треугольников (по стороне и двум углам, ASA или AAS) и, следовательно, оно верно и для прямоугольных треугольников. Как и в пункте В, указание "двух углов" для прямоугольного треугольника является избыточным, так как знание одного острого угла позволяет найти все углы.
Утверждение сводится к признаку равенства по стороне (катету или гипотенузе) и острому углу.
Это утверждение также логически истинно, но, как и В, сформулировано неоптимально для частного случая прямоугольных треугольников.
Ответ: верно.

Итог:
Утверждения Б, В и Г являются логически верными. Однако в задачах с выбором одного ответа обычно требуется указать наиболее точную и стандартную формулировку.

• Утверждение А — неверно.
• Утверждения В и Г — верны, но избыточны в своей формулировке, так как для прямоугольного треугольника достаточно задать один острый угол, чтобы все углы были известны.
• Утверждение Б — верно и представляет собой стандартный, точный и минимально необходимый признак равенства прямоугольных треугольников (по катету и острому углу).

Следовательно, наиболее корректным ответом на вопрос является утверждение Б.

10. Какое из следующих утверждений верно?

А) если две стороны одного прямоугольного треугольника равны двум сторонам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Б) если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

В) если гипотенуза и два угла одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и двум углам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Г) если сторона и два угла одного прямоугольного треугольника равны стороне и двум углам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

11. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 60^\circ$. Какое из следующих утверждений верно?

А) $CB = \frac{1}{2}AB$

В) $CB = \frac{1}{2}AC$

Б) $AC = \frac{1}{2}AB$

Г) $AC = \frac{1}{2}CB$

По условию задачи дан треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$. Это прямоугольный треугольник.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол, $\angle A$:

$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике есть свойство: катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

В треугольнике $ABC$ гипотенузой является сторона $AB$, так как она лежит напротив прямого угла $C$. Катет $CB$ лежит напротив угла $\angle A$, который равен $30^\circ$. Катет $AC$ лежит напротив угла $\angle B$, равного $60^\circ$.

Согласно свойству, катет $CB$, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы $AB$. Математически это записывается как: $CB = \frac{1}{2}AB$.

Теперь проанализируем каждое из предложенных утверждений:

А) $CB = \frac{1}{2}AB$

Это утверждение верно, так как катет $CB$ лежит напротив угла $\angle A = 30^\circ$ и, следовательно, равен половине гипотенузы $AB$.

Б) $AC = \frac{1}{2}AB$

Это утверждение неверно. Катет $AC$ лежит напротив угла $\angle B = 60^\circ$. Его длина связана с гипотенузой через синус: $AC = AB \cdot \sin(60^\circ) = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

В) $CB = \frac{1}{2}AC$

Это утверждение неверно. Соотношение между катетами можно найти через тангенс угла $B$: $\tan(60^\circ) = \frac{AC}{CB}$. Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, то $AC = CB \cdot \sqrt{3}$. Отсюда $CB = \frac{AC}{\sqrt{3}}$.

Г) $AC = \frac{1}{2}CB$

Это утверждение также неверно, что следует из соотношения $AC = CB \cdot \sqrt{3}$.

Таким образом, единственным верным утверждением является А.

Ответ: А

11. В треугольнике ABC известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 60^\circ$. Какое из следующих утверждений неверно?

А) $CB = \frac{1}{2}AB$

В) $CB = \frac{1}{2}AC$

Б) $AC = \frac{1}{2}AB$

Г) $AC = \frac{1}{2}CB$