Страница 131 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

513. На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $BM = BK$. Отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что:

1) треугольник $AOC$ равнобедренный;

2) прямая $BO$ – серединный перпендикуляр отрезка $AC$.

Дано:

Треугольник $ABC$ — равнобедренный, $AB = BC$.

Точки $M \in AB$ и $K \in BC$.

$BM = BK$.

Отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $O$.

Доказать:

1) треугольник $AOC$ — равнобедренный;

2) прямая $BO$ — серединный перпендикуляр отрезка $AC$.

Доказательство:

1) Докажем, что треугольник AOC равнобедренный.

Рассмотрим треугольники $AMC$ и $CKA$.

По условию, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, следовательно, боковые стороны равны $AB = BC$ и углы при основании равны $\angle BAC = \angle BCA$.

Найдем длины отрезков $AM$ и $CK$. Так как точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $K$ на стороне $BC$, то:

$AM = AB - BM$

$CK = BC - BK$

Поскольку $AB = BC$ (по условию равнобедренного треугольника) и $BM = BK$ (по условию задачи), то, вычитая из равных отрезков равные, получаем, что $AM = CK$.

Теперь сравним треугольники $AMC$ и $CKA$:

• $AM = CK$ (доказано выше).
• $\angle MAC = \angle KCA$ (так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$).
• $AC$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle AMC = \triangle CKA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle ACM = \angle CAK$.

Углы $\angle ACM$ и $\angle CAK$ являются также углами треугольника $AOC$, а именно: $\angle OCA = \angle ACM$ и $\angle OAC = \angle CAK$.

Так как в треугольнике $AOC$ углы при основании $AC$ равны ($\angle OAC = \angle OCA$), то треугольник $AOC$ является равнобедренным, а его боковые стороны $AO$ и $CO$ равны.

Ответ: Треугольник $AOC$ является равнобедренным, так как из равенства треугольников $AMC$ и $CKA$ следует равенство углов $\angle OAC$ и $\angle OCA$, что по признаку равнобедренного треугольника означает, что стороны $AO$ и $CO$ равны.

2) Докажем, что прямая BO – серединный перпендикуляр отрезка AC.

Рассмотрим треугольники $ABO$ и $CBO$.

• $AB = CB$ (по условию, так как $\triangle ABC$ равнобедренный).
• $AO = CO$ (доказано в пункте 1).
• $BO$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle ABO = \triangle CBO$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle ABO = \angle CBO$.

Это означает, что отрезок $BO$ является биссектрисой угла $ABC$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, является одновременно медианой и высотой.

• Как высота, $BO$ перпендикулярна основанию $AC$ ($BO \perp AC$).
• Как медиана, $BO$ делит основание $AC$ пополам.

Прямая, которая перпендикулярна отрезку и проходит через его середину, по определению является серединным перпендикуляром. Таким образом, прямая $BO$ — серединный перпендикуляр отрезка $AC$.

Ответ: Прямая $BO$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$, так как из равенства треугольников $ABO$ и $CBO$ следует, что $BO$ — биссектриса угла $ABC$, а в равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.

513. Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

514. На рисунке 306 $AB = CD$, $BC = AD$. Докажите, что $AO = OC$.

Рис. 306

Для доказательства равенства $ AO = OC $, рассмотрим четырехугольник $ ABCD $.

1. Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle CDA $. В этих треугольниках:

• $ AB = CD $ (по условию)
• $ BC = AD $ (по условию)
• $ AC $ — общая сторона

Следовательно, $ \triangle ABC \cong \triangle CDA $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

2. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $ \angle BAC = \angle DCA $ и $ \angle BCA = \angle DAC $.

3. Углы $ \angle BAC $ и $ \angle DCA $ являются накрест лежащими при прямых $ AB $ и $ CD $ и секущей $ AC $. Поскольку эти углы равны, то прямые $ AB $ и $ CD $ параллельны ($ AB \parallel CD $).
Аналогично, углы $ \angle BCA $ и $ \angle DAC $ являются накрест лежащими при прямых $ BC $ и $ AD $ и секущей $ AC $. Поскольку эти углы равны, то прямые $ BC $ и $ AD $ параллельны ($ BC \parallel AD $).

4. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Таким образом, $ ABCD $ — это параллелограмм.

5. Одним из свойств параллелограмма является то, что его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Диагонали $ AC $ и $ BD $ пересекаются в точке $ O $. Следовательно, точка $ O $ является серединой диагонали $ AC $.

Из этого следует, что $ AO = OC $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ AO = OC $ доказано.

514. Верно ли, что прямая, перпендикулярная радиусу окружности, касается этой окружности?

515. Можно ли замостить плоскость фигурами, каждая из которых равна фигуре, изображённой на рисунке 307?

Рис. 307

Да, можно замостить плоскость фигурами, каждая из которых равна фигуре, изображённой на рисунке.

Чтобы это доказать, мы построим более крупный блок из нескольких исходных фигур, который затем сможет покрыть всю плоскость без пробелов и наложений. Этот процесс можно разбить на несколько шагов.

Шаг 1: Возьмем исходную фигуру, состоящую из 5 квадратов. Назовем ее F. Схематично её можно изобразить так:

#### # 

Шаг 2: Возьмем вторую такую же фигуру и повернем ее на 180°. Назовем эту повернутую фигуру F'.

 ##### 

Шаг 3: Теперь соединим фигуры F и F' в один блок B1, состоящий из 10 квадратов. Для этого расположим их со сдвигом, чтобы они частично соприкасались.

#### ## #### 

Шаг 4: Создадим второй блок B2, который является блоком B1, повернутым на 180°.

########## 

Шаг 5: Составим из блоков B1 и B2 новый, ещё больший блок C, состоящий из 20 квадратов. Для этого разместим блок B2 слева от блока B1.

########## ########## 

Шаг 6: Полученный блок C имеет форму прямоугольника размером $8 \times 3$ с вырезанным в центре прямоугольником размером $4 \times 1$. Этот блок C может замостить всю плоскость путем параллельных переносов. Мы можем выкладывать копии блока C вплотную друг к другу по горизонтали, образуя бесконечную полосу. Затем такие полосы можно укладывать вплотную друг на друга по вертикали, так как верхний и нижний края блока C являются прямыми линиями.

Пример замощения плоскости блоками C:

...|########|########|......|## ##|## ##|......|########|########|......|########|########|......|## ##|## ##|......|########|########|... 

Таким образом, мы продемонстрировали способ замостить плоскость данными фигурами без пробелов и наложений.

Ответ: Да, можно.

515. Прямая $CD$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$, отрезок $AB$ – хорда окружности, $\angle BAD = 35^\circ$ (рис. 295). Найдите $\angle AOB$.

Рис. 295