Страница 130 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

499. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и биссектрисе, проведённой из вершины прямого угла.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ с прямыми углами $ \angle C $ и $ \angle C_1 $ соответственно. Пусть $ CL $ и $ C_1L_1 $ — биссектрисы этих прямых углов.

По условию, катет и биссектриса прямого угла одного треугольника равны соответствующим катету и биссектрисе другого. Пусть катет $ AC $ равен катету $ A_1C_1 $, а биссектриса $ CL $ равна биссектрисе $ C_1L_1 $. Требуется доказать, что $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $.

Доказательство:

1. Поскольку $ CL $ является биссектрисой прямого угла $ \angle C $, она делит его на два равных угла. Таким образом, $ \angle ACL = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $.

2. Аналогично, поскольку $ C_1L_1 $ является биссектрисой прямого угла $ \angle C_1 $, то $ \angle A_1C_1L_1 = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $.

3. Рассмотрим треугольники $ \triangle ACL $ и $ \triangle A_1C_1L_1 $. В этих треугольниках:
- сторона $ AC $ равна стороне $ A_1C_1 $ (по условию),
- сторона $ CL $ равна стороне $ C_1L_1 $ (по условию),
- угол $ \angle ACL $ равен углу $ \angle A_1C_1L_1 $, так как оба равны $ 45^\circ $.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ \triangle ACL \cong \triangle A_1C_1L_1 $.

4. Из равенства треугольников $ \triangle ACL $ и $ \triangle A_1C_1L_1 $ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны углы, противолежащие равным сторонам $ CL $ и $ C_1L_1 $, то есть $ \angle A = \angle A_1 $.

5. Теперь сравним исходные прямоугольные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Они равны по признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу, так как:
- катет $ AC $ равен катету $ A_1C_1 $ (по условию),
- прилежащий к этому катету острый угол $ \angle A $ равен углу $ \angle A_1 $ (доказано в предыдущем пункте).

Таким образом, $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников доказано.

499. Отрезок $AB$ – диаметр окружности, $M$ – произвольная точка окружности, отличная от точек $A$ и $B$. Докажите, что $\angle AMB=90^\circ$.

500. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, проведённой из вершины прямого угла.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим два прямоугольных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$.

Пусть $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ – катеты и гипотенуза $\triangle ABC$ соответственно. $CD=h_c$ – высота, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$.

Аналогично, $B_1C_1=a_1$, $A_1C_1=b_1$, $A_1B_1=c_1$ – катеты и гипотенуза $\triangle A_1B_1C_1$. $C_1D_1=h_{c1}$ – высота, проведенная из вершины прямого угла $C_1$ к гипотенузе $A_1B_1$.

Дано:

1. $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ – прямоугольные ($\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$).
2. Катет одного треугольника равен соответствующему катету другого. Без ограничения общности, пусть $a = a_1$ (т.е. $BC = B_1C_1$).
3. Высота, проведенная из вершины прямого угла, у одного треугольника равна соответствующей высоте у другого: $h_c = h_{c1}$.

Доказать:

$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Запишем теорему Пифагора для обоих треугольников:

$a^2 + b^2 = c^2$

$a_1^2 + b_1^2 = c_1^2$

Так как по условию $a = a_1$, то $a^2 = a_1^2$. Выразим $a^2$ из каждого равенства и приравняем их:

$c^2 - b^2 = c_1^2 - b_1^2$ (1)

2. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней.

Для $\triangle ABC$: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch_c$, откуда следует $ab = ch_c$.

Для $\triangle A_1B_1C_1$: $S_1 = \frac{1}{2}a_1b_1 = \frac{1}{2}c_1h_{c1}$, откуда следует $a_1b_1 = c_1h_{c1}$.

Учитывая условия $a = a_1$ и $h_c = h_{c1}$, получаем систему:

$ab = ch_c$

$ab_1 = c_1h_c$

Так как длины сторон и высот треугольника положительны, мы можем разделить первое уравнение на второе:

$\frac{ab}{ab_1} = \frac{ch_c}{c_1h_c}$

$\frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1}$ (2)

3. Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2). Из уравнения (2) выразим $b = b_1 \frac{c}{c_1}$ и подставим это выражение в уравнение (1):

$c^2 - (b_1 \frac{c}{c_1})^2 = c_1^2 - b_1^2$

$c^2 - b_1^2 \frac{c^2}{c_1^2} = c_1^2 - b_1^2$

$c^2(1 - \frac{b_1^2}{c_1^2}) = c_1^2 - b_1^2$

$c^2(\frac{c_1^2 - b_1^2}{c_1^2}) = c_1^2 - b_1^2$

Из теоремы Пифагора для $\triangle A_1B_1C_1$ следует, что $c_1^2 - b_1^2 = a_1^2$. Поскольку $a_1$ — это длина катета, $a_1 > 0$, и значит $c_1^2 - b_1^2 \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $(c_1^2 - b_1^2)$:

$\frac{c^2}{c_1^2} = 1$

$c^2 = c_1^2$

Поскольку длины гипотенуз $c$ и $c_1$ являются положительными величинами, отсюда следует, что $c = c_1$.

4. Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых равны катет ($BC = B_1C_1$ по условию) и гипотенуза ($AB = A_1B_1$ по доказанному). Следовательно, эти треугольники равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, проведённой из вершины прямого угла, доказано.

500. Даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек X таких, что $AX > BX$.

501. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и биссектрисе, проведённой из вершины прилежащего к этому катету острого угла.

Пусть даны два прямоугольных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$.

Дано:
1. $AC = A_1C_1$ (равные катеты).
2. $AL$ — биссектриса острого угла $\angle A$, прилежащего к катету $AC$.
3. $A_1L_1$ — биссектриса острого угла $\angle A_1$, прилежащего к катету $A_1C_1$.
4. $AL = A_1L_1$ (биссектрисы равны).

Доказать:
$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ACL$ и $\triangle A_1C_1L_1$. Они являются прямоугольными, так как $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$.

2. В этих прямоугольных треугольниках:
- гипотенуза $AL$ равна гипотенузе $A_1L_1$ по условию;
- катет $AC$ равен катету $A_1C_1$ по условию.

3. Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ACL$ и $\triangle A_1C_1L_1$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе).

4. Из равенства треугольников $\triangle ACL$ и $\triangle A_1C_1L_1$ следует равенство их соответствующих углов: $\angle CAL = \angle C_1A_1L_1$.

5. По определению, биссектриса делит угол пополам, поэтому:
$\angle BAC = 2 \cdot \angle CAL$
$\angle B_1A_1C_1 = 2 \cdot \angle C_1A_1L_1$

6. Так как $\angle CAL = \angle C_1A_1L_1$, то и удвоенные углы равны: $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

7. Теперь рассмотрим исходные прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. В них:
- катет $AC$ равен катету $A_1C_1$ (по условию);
- прилежащий к этому катету острый угол $\angle BAC$ равен углу $\angle B_1A_1C_1$ (доказано в пункте 6).

8. Таким образом, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему острому углу).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство прямоугольных треугольников доказано.

501. Даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек X таких, что $AX > AB$.

502. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и медиане, проведённой к другому катету.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим два прямоугольных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $, в которых углы $ C $ и $ C_1 $ являются прямыми ($ \angle C = \angle C_1 = 90^\circ $).

Пусть по условию катет $ AC $ треугольника $ \triangle ABC $ равен катету $ A_1C_1 $ треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $, то есть $ AC = A_1C_1 $.

Также по условию, медиана, проведённая к другому катету, в нашем случае к катету $ BC $, равна соответствующей медиане в другом треугольнике. Пусть $ AM $ — медиана к катету $ BC $ в $ \triangle ABC $, а $ A_1M_1 $ — медиана к катету $ B_1C_1 $ в $ \triangle A_1B_1C_1 $. Таким образом, $ AM = A_1M_1 $.

Нам необходимо доказать, что треугольники равны: $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

Доказательство.

1. Рассмотрим треугольник $ \triangle ACM $. Поскольку $ \angle C = 90^\circ $, этот треугольник является прямоугольным. По теореме Пифагора для $ \triangle ACM $ квадрат его гипотенузы $ AM $ равен сумме квадратов катетов $ AC $ и $ CM $:

$AM^2 = AC^2 + CM^2$

2. Аналогично рассмотрим $ \triangle A_1C_1M_1 $. Он также является прямоугольным, так как $ \angle C_1 = 90^\circ $. По теореме Пифагора для $ \triangle A_1C_1M_1 $:

$A_1M_1^2 = A_1C_1^2 + C_1M_1^2$

3. Из условия задачи мы знаем, что $ AM = A_1M_1 $ и $ AC = A_1C_1 $. Это означает, что и квадраты этих сторон равны: $ AM^2 = A_1M_1^2 $ и $ AC^2 = A_1C_1^2 $.

4. Так как $ AM^2 = A_1M_1^2 $, мы можем приравнять правые части выражений, полученных в пунктах 1 и 2:

$AC^2 + CM^2 = A_1C_1^2 + C_1M_1^2$

Поскольку $ AC^2 = A_1C_1^2 $, мы можем вычесть эту величину из обеих частей равенства:

$CM^2 = C_1M_1^2$

Так как длины отрезков — это положительные числа, из равенства их квадратов следует равенство самих отрезков:

$CM = C_1M_1$

5. По определению медианы, точка $ M $ — это середина катета $ BC $, а точка $ M_1 $ — середина катета $ B_1C_1 $. Следовательно, длина всего катета вдвое больше длины отрезка от вершины прямого угла до медианы:

$BC = 2 \cdot CM$

$B_1C_1 = 2 \cdot C_1M_1$

Из того, что $ CM = C_1M_1 $, следует, что $ BC = B_1C_1 $.

6. Теперь сравним треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Мы показали, что:

- катет $ AC = A_1C_1 $ (по условию);

- катет $ BC = B_1C_1 $ (как доказано выше);

- угол между этими катетами $ \angle C = \angle C_1 = 90^\circ $ (по условию).

Следовательно, $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $ по признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам (что является частным случаем первого признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если катет и медиана, проведённая к другому катету, одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и медиане, проведённой к другому катету, другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

502. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектрисы AD и CE. Докажите, что $AE = ED$.

503. Докажите, что в равных треугольниках высоты, опущенные на соответственные стороны, равны.

Пусть даны два равных треугольника, $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Из условия их равенства ($ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $) следует, что все их соответственные элементы равны. В частности, равны их соответственные стороны и углы:
$ AB = A_1B_1 $, $ BC = B_1C_1 $, $ AC = A_1C_1 $
$ \angle A = \angle A_1 $, $ \angle B = \angle B_1 $, $ \angle C = \angle C_1 $

Проведем в этих треугольниках высоты к одной из пар соответственных сторон, например, высоты $ BH $ к стороне $ AC $ и $ B_1H_1 $ к стороне $ A_1C_1 $. По определению, высота перпендикулярна стороне, к которой она проведена, следовательно, $ BH \perp AC $ и $ B_1H_1 \perp A_1C_1 $. Это означает, что $ \angle BHA = 90^\circ $ и $ \angle B_1H_1A_1 = 90^\circ $.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $. Сравним эти треугольники:
1. Их гипотенузы равны: $ AB = A_1B_1 $ (как соответственные стороны в равных треугольниках $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $).
2. Прилежащие к гипотенузам острые углы равны: $ \angle A = \angle A_1 $ (как соответственные углы в тех же треугольниках).

Следовательно, прямоугольные треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу).

Поскольку треугольники $ \triangle ABH $ и $ \triangle A_1B_1H_1 $ равны, то равны и их соответственные стороны. Катет $ BH $ в треугольнике $ \triangle ABH $ соответствует катету $ B_1H_1 $ в треугольнике $ \triangle A_1B_1H_1 $. Таким образом, $ BH = B_1H_1 $.

Это доказывает, что высоты, опущенные на соответственные стороны в равных треугольниках, равны. Аналогичное доказательство можно провести для двух других пар высот.

Ответ: Утверждение доказано.

503. Из точки O через точки A, B и C проведены лучи OA, OB и OC. Известно, что $OA = OB = OC$, $\angle AOB = 80^\circ$, $\angle BOC = 110^\circ$, $\angle AOC = 170^\circ$. Найдите углы треугольника ABC.

504. Прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно в точках $M$ и $K$, являющихся серединами этих сторон. Докажите, что вершины данного треугольника равноудалены от прямой $MK$.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ точки $M$ и $K$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Это означает, что отрезок $MK$ является средней линией треугольника $ABC$.

Нам необходимо доказать, что все три вершины треугольника, $A$, $B$ и $C$, равноудалены от прямой $MK$. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Обозначим искомые расстояния от вершин $A$, $B$ и $C$ до прямой $MK$ как $d_A$, $d_B$ и $d_C$ соответственно.

Шаг 1: Докажем, что $d_A = d_C$

Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Следовательно, прямая $MK$ параллельна прямой, содержащей сторону $AC$ ($MK \parallel AC$). Расстояние между двумя параллельными прямыми является постоянной величиной. Поскольку точки $A$ и $C$ лежат на прямой $AC$, которая параллельна прямой $MK$, расстояния от этих точек до прямой $MK$ равны. Таким образом, $d_A = d_C$.

Шаг 2: Докажем, что $d_A = d_B$

Опустим перпендикуляры $AH_A$ и $BH_B$ из точек $A$ и $B$ на прямую $MK$. Длины этих перпендикуляров и есть искомые расстояния $d_A$ и $d_B$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AMH_A$ и $\triangle BMH_B$.

• Гипотенузы $AM$ и $MB$ равны, так как $M$ — середина стороны $AB$ по условию ($AM = MB$).
• Углы $\angle AH_A M$ и $\angle BH_B M$ являются прямыми ($\angle AH_A M = \angle BH_B M = 90^\circ$) по построению.
• Углы $\angle AMH_A$ и $\angle BMH_B$ равны как вертикальные углы, образованные при пересечении прямых $AB$ и $MK$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AMH_A$ и $\triangle BMH_B$ равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $AH_A = BH_B$. Это означает, что $d_A = d_B$.

Заключение

Из Шага 1 мы получили, что $d_A = d_C$. Из Шага 2 мы получили, что $d_A = d_B$. Объединяя эти равенства, получаем: $d_A = d_B = d_C$. Это доказывает, что вершины $A$, $B$ и $C$ данного треугольника равноудалены от прямой $MK$.

Ответ: Утверждение доказано. Вершины треугольника равноудалены от прямой MK.

504. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $BM = CM$, $MK$ – биссектриса угла $AMC$. Докажите, что $MK \parallel BC$.

505. Прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Вершины данного треугольника равноудалены от прямой $MK$. Докажите, что точки $M$ и $K$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно.

Пусть $l$ - это прямая, проходящая через точки $M$ и $K$. Опустим из вершин треугольника $A$, $B$ и $C$ перпендикуляры на прямую $l$. Обозначим основания этих перпендикуляров как $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно.

По условию задачи, вершины треугольника равноудалены от прямой $MK$. Это означает, что длины этих перпендикуляров равны между собой: $AA_1 = BB_1 = CC_1$.

Поскольку точка $M$ лежит на стороне $AB$ (то есть между точками $A$ и $B$), то вершины $A$ и $B$ находятся по разные стороны от прямой $l$. Аналогично, так как точка $K$ лежит на стороне $BC$, вершины $B$ и $C$ также находятся по разные стороны от прямой $l$.

Докажем, что M является серединой стороны AB

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AMA_1$ и $\triangle BMB_1$. В этих треугольниках:

• катет $AA_1$ равен катету $BB_1$ (по условию);
• угол $\angle AMA_1$ равен углу $\angle BMB_1$ (как вертикальные углы).

Так как треугольники являются прямоугольными ($\angle AA_1M = \angle BB_1M = 90^\circ$), они равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и противолежащему острому углу). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в данном случае гипотенуз: $AM = BM$. Следовательно, точка $M$ является серединой стороны $AB$.

Докажем, что K является серединой стороны BC

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BKB_1$ и $\triangle CKC_1$. Аналогично предыдущему пункту:

• катет $BB_1$ равен катету $CC_1$ (по условию);
• угол $\angle BKB_1$ равен углу $\angle CKC_1$ (как вертикальные углы).

Треугольники являются прямоугольными ($\angle BB_1K = \angle CC_1K = 90^\circ$), поэтому они равны по катету и противолежащему острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $BK = CK$. Следовательно, точка $K$ является серединой стороны $BC$.

Таким образом, мы доказали, что точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $K$ — серединой стороны $BC$.

Ответ: Утверждение задачи доказано.

505. В остроугольном треугольнике один из внешних углов равен $160^\circ$.

Найдите угол между прямыми, на которых лежат высоты, проведённые из двух других вершин треугольника.

506. Докажите равенство остроугольных треугольников по стороне и двум высотам, проведённым из концов этой стороны.

Пусть даны два остроугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Согласно условию задачи, у них равны одна сторона и две высоты, проведённые из концов этой стороны. Без ограничения общности, пусть равной стороной будет $BC$ в первом треугольнике и $B_1C_1$ во втором. Таким образом, по условию $BC = B_1C_1$.

Пусть $BH$ и $CK$ — высоты в $\triangle ABC$, проведённые из вершин $B$ и $C$ к сторонам $AC$ и $AB$ соответственно. Это означает, что $BH \perp AC$ и $CK \perp AB$.
Аналогично, пусть $B_1H_1$ и $C_1K_1$ — высоты в $\triangle A_1B_1C_1$, проведённые из вершин $B_1$ и $C_1$ к сторонам $A_1C_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Это означает, что $B_1H_1 \perp A_1C_1$ и $C_1K_1 \perp A_1B_1$.

По условию, эти высоты равны: $BH = B_1H_1$ и $CK = C_1K_1$.
Требуется доказать, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Сначала рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BKC$ и $\triangle B_1K_1C_1$. Углы $\angle BKC$ и $\angle B_1K_1C_1$ равны $90^\circ$, так как $CK$ и $C_1K_1$ являются высотами. В этих треугольниках:
- гипотенуза $BC$ равна гипотенузе $B_1C_1$ (по условию);
- катет $CK$ равен катету $C_1K_1$ (по условию).
Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle BKC$ и $\triangle B_1K_1C_1$ равны по признаку равенства по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов, в частности, углов: $\angle KBC = \angle K_1B_1C_1$.

2. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BHC$ и $\triangle B_1H_1C_1$. Углы $\angle BHC$ и $\angle B_1H_1C_1$ равны $90^\circ$, так как $BH$ и $B_1H_1$ являются высотами. В этих треугольниках:
- гипотенуза $BC$ равна гипотенузе $B_1C_1$ (по условию);
- катет $BH$ равен катету $B_1H_1$ (по условию).
Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle BHC$ и $\triangle B_1H_1C_1$ также равны по гипотенузе и катету. Из их равенства следует равенство углов: $\angle HCB = \angle H_1C_1B_1$.

3. Условие, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ являются остроугольными, гарантирует, что основания высот ($H$, $K$, $H_1$, $K_1$) лежат на сторонах треугольников, а не на их продолжениях. Поэтому угол $\angle KBC$ является углом $\angle B$ треугольника $ABC$, а угол $\angle HCB$ является углом $\angle C$. Аналогично, $\angle K_1B_1C_1$ — это $\angle B_1$, а $\angle H_1C_1B_1$ — это $\angle C_1$. Из доказанного в п.1 и п.2 следует, что $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$.

4. Наконец, сравним исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы установили, что:
- $\angle B = \angle B_1$;
- $BC = B_1C_1$ (дано по условию);
- $\angle C = \angle C_1$.
Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам, ASA), мы заключаем, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Равенство треугольников доказано.

506. На рисунке 286 прямоугольник ABCD составлен из квадратов. Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького квадрата равна 1.

Рис. 286

507. Докажите равенство остроугольных треугольников по стороне и проведённым к ней медиане и высоте.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом последовательного доказательства равенства треугольников, из которых состоят исходные треугольники.

Дано:
Рассмотрим два остроугольных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$.
В них проведены высоты $BH$ и $B_1H_1$ к сторонам $AC$ и $A_1C_1$ соответственно, и медианы $BM$ и $B_1M_1$ к тем же сторонам.
По условию нам известно, что:
1. Стороны, к которым проведены высота и медиана, равны: $AC = A_1C_1$.
2. Медианы равны: $BM = B_1M_1$.
3. Высоты равны: $BH = B_1H_1$.

Доказать:
$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BHM$ и $\triangle B_1H_1M_1$. Они прямоугольные, так как $BH \perp AC$ и $B_1H_1 \perp A_1C_1$ по определению высоты.
В этих треугольниках:

• $BM = B_1M_1$ (гипотенузы, по условию).
• $BH = B_1H_1$ (катеты, по условию).

Следовательно, $\triangle BHM \cong \triangle B_1H_1M_1$ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).
Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $HM = H_1M_1$.

2. Так как $BM$ и $B_1M_1$ — медианы, точки $M$ и $M_1$ являются серединами сторон $AC$ и $A_1C_1$ соответственно.
$AM = MC = \frac{1}{2}AC$
$A_1M_1 = M_1C_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$
Поскольку по условию $AC = A_1C_1$, то $AM = A_1M_1$ и $MC = M_1C_1$.

3. Теперь найдем длины отрезков $AH, CH, A_1H_1, C_1H_1$. Так как треугольники остроугольные, основания высот $H$ и $H_1$ лежат на сторонах $AC$ и $A_1C_1$ (а не на их продолжениях).
Рассмотрим отрезки на стороне $AC$. Точка $H$ может лежать либо между $A$ и $M$, либо между $M$ и $C$. Предположим, для определенности, что $H$ лежит между $A$ и $M$ (второй случай рассматривается абсолютно аналогично).
Тогда $AH = AM - HM$ и $CH = CM + HM = AM + HM$.
Аналогично для второго треугольника, так как $\triangle BHM \cong \triangle B_1H_1M_1$, взаимное расположение точек $A_1, H_1, M_1$ будет таким же.
$A_1H_1 = A_1M_1 - H_1M_1$ и $C_1H_1 = C_1M_1 + H_1M_1 = A_1M_1 + H_1M_1$.
Так как мы уже установили, что $AM = A_1M_1$ и $HM = H_1M_1$, мы можем заключить, что $AH = A_1H_1$ и $CH = C_1H_1$.

4. Теперь мы можем доказать равенство исходных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ по третьему признаку (по трем сторонам).
- Сторона 1: $AC = A_1C_1$ по условию.
- Сторона 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. По теореме Пифагора $AB^2 = AH^2 + BH^2$. Аналогично, в $\triangle A_1B_1H_1$ имеем $A_1B_1^2 = A_1H_1^2 + B_1H_1^2$. Так как $AH = A_1H_1$ и $BH = B_1H_1$, то $AB^2 = A_1B_1^2$, а значит $AB = A_1B_1$.
- Сторона 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CBH$. По теореме Пифагора $BC^2 = CH^2 + BH^2$. Аналогично, в $\triangle C_1B_1H_1$ имеем $B_1C_1^2 = C_1H_1^2 + B_1H_1^2$. Так как $CH = C_1H_1$ и $BH = B_1H_1$, то $BC^2 = B_1C_1^2$, а значит $BC = B_1C_1$.

Таким образом, все три стороны треугольника $ABC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $A_1B_1C_1$. Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

Ответ: Равенство треугольников доказано.

507. Начертите окружность с центром $O$, проведите хорду $AB$. Пользуясь угольником, разделите эту хорду пополам.

508. Высоты $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$, $HK = HM$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\Delta AKH$ и $\Delta CMH$. Так как $AM$ и $CK$ являются высотами треугольника $ABC$, они перпендикулярны сторонам $BC$ и $AB$ соответственно. Следовательно, $\angle AMC = 90^\circ$ и $\angle AKC = 90^\circ$.

Поскольку точка $H$ лежит на высотах $AM$ и $CK$, то $\angle CMH = 90^\circ$ и $\angle AKH = 90^\circ$. Это означает, что треугольники $\Delta AKH$ и $\Delta CMH$ являются прямоугольными.

2. Сравним эти два прямоугольных треугольника:

- Катет $HK$ равен катету $HM$ по условию задачи ($HK = HM$).
- Угол $\angle AHK$ равен углу $\angle CHM$ как вертикальные углы ($\angle AHK = \angle CHM$). Эти углы являются острыми и прилежат к катетам $KH$ и $MH$ соответственно.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\Delta AKH$ и $\Delta CMH$ равны по катету и прилежащему к нему острому углу.

3. Из равенства треугольников $\Delta AKH \cong \Delta CMH$ следует равенство их соответствующих сторон. В частности, равны их гипотенузы: $AH = CH$.

4. Теперь найдем длины высот $AM$ и $CK$.
Длина высоты $AM$ равна сумме отрезков $AH$ и $HM$: $AM = AH + HM$.
Длина высоты $CK$ равна сумме отрезков $CH$ и $HK$: $CK = CH + HK$.
Поскольку $AH = CH$ (из п.3) и $HM = HK$ (по условию), то $AH + HM = CH + HK$.
Таким образом, высоты треугольника равны: $AM = CK$.

5. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\Delta ABM$ и $\Delta CBK$.
- $\angle AMB = 90^\circ$ и $\angle CKB = 90^\circ$.
- Катеты $AM$ и $CK$ равны, как было доказано выше ($AM = CK$).
- Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников. Этот угол противолежит катетам $AM$ и $CK$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\Delta ABM$ и $\Delta CBK$ равны по катету и противолежащему острому углу.

6. Из равенства треугольников $\Delta ABM \cong \Delta CBK$ следует равенство их гипотенуз: $AB = BC$.

Поскольку две стороны треугольника $ABC$ равны, он является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, треугольник ABC является равнобедренным.

508. Начертите окружность с центром $O$, проведите хорду $CD$. Пользуясь линейкой со шкалой, проведите диаметр, перпендикулярный хорде $CD$.

509. Высоты $ME$ и $NF$ треугольника $MKN$ пересекаются в точке $O$, $OM = ON$, $MF = KE$. Докажите, что треугольник $MKN$ равносторонний.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OFM$ и $\triangle OEN$.
Поскольку $NF$ и $ME$ — высоты, то $\angle OFM = 90^\circ$ и $\angle OEN = 90^\circ$ (так как $NF \perp MK$ и $ME \perp KN$).
По условию дано, что $OM = ON$. Эти стороны являются гипотенузами в данных треугольниках.
Углы $\angle FOM$ и $\angle EON$ равны как вертикальные углы.
Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OFM$ и $\triangle OEN$ равны по гипотенузе и острому углу ($\triangle OFM \cong \triangle OEN$).

Из равенства треугольников $\triangle OFM$ и $\triangle OEN$ следует равенство их соответствующих катетов: $MF = EN$ и $OF = OE$.

В условии задачи также дано, что $MF = KE$. Сопоставляя это равенство с полученным нами равенством $MF = EN$, приходим к выводу, что $KE = EN$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle MEK$ и $\triangle MEN$.
Так как $ME$ — высота к стороне $KN$, то $\angle MEK = \angle MEN = 90^\circ$, то есть оба треугольника являются прямоугольными.
Сторона $ME$ у них общая.
Катеты $KE$ и $EN$ равны, как было доказано выше ($KE = EN$).
Следовательно, $\triangle MEK \cong \triangle MEN$ по двум катетам.

Из равенства треугольников $\triangle MEK$ и $\triangle MEN$ следует равенство их гипотенуз: $MK = MN$. Таким образом, мы доказали, что треугольник $MKN$ является равнобедренным.

Далее сравним длины высот $ME$ и $NF$. Высота $ME$ состоит из отрезков $MO$ и $OE$, то есть $ME = MO + OE$. Высота $NF$ состоит из отрезков $NO$ и $OF$, то есть $NF = NO + OF$.
По условию $OM = ON$, а из равенства треугольников $\triangle OFM$ и $\triangle OEN$ мы получили, что $OE = OF$. Сложив эти два равенства ($OM+OE = ON+OF$), получаем, что $ME = NF$.

Мы установили, что в треугольнике $MKN$ две высоты равны: $ME = NF$. Высота $ME$ проведена к стороне $KN$, а высота $NF$ — к стороне $MK$. В любом треугольнике стороны, к которым проведены равные высоты, также равны. Отсюда следует, что $KN = MK$.

Объединяя полученные результаты $MK = MN$ и $KN = MK$, мы имеем $MK = MN = KN$.

Так как все три стороны треугольника $MKN$ равны, он является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что треугольник $MKN$ равносторонний, доказано.

509. Начертите окружность, отметьте на ней точки $A$ и $B$. Пользуясь линейкой и угольником, проведите прямые, которые касаются окружности в точках $A$ и $B$.

510. Можно ли утверждать, что если две стороны и высота, проведённая к третьей стороне, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте, проведённой к третьей стороне, другого треугольника, то эти треугольники равны?

Нет, такое утверждение неверно. Можно построить два разных (неравных) треугольника, которые будут удовлетворять заданному условию.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Пусть в $\triangle ABC$ стороны $AC = b$, $BC = a$, а высота $CD$, проведенная к стороне $AB$, равна $h$.

Пусть в $\triangle A_1B_1C_1$ стороны $A_1C_1 = b$, $B_1C_1 = a$, а высота $C_1D_1$, проведенная к стороне $A_1B_1$, также равна $h$.

По условию, две стороны и высота к третьей стороне одного треугольника равны двум сторонам и высоте к третьей стороне другого.

Длину третьей стороны $c=AB$ можно найти, рассмотрев прямоугольные треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$, которые образуются при проведении высоты $CD$. По теореме Пифагора:

$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{b^2 - h^2}$

$BD = \sqrt{BC^2 - CD^2} = \sqrt{a^2 - h^2}$

Существует два возможных случая расположения основания высоты $D$ на прямой, содержащей сторону $AB$:

1. Точка D лежит на отрезке AB. Это соответствует случаю, когда углы при основании $A$ и $B$ — острые. Тогда длина третьей стороны $c$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $BD$:

$c_1 = AB = AD + BD = \sqrt{b^2 - h^2} + \sqrt{a^2 - h^2}$

2. Точка D лежит на прямой AB вне отрезка AB. Это соответствует случаю, когда один из углов при основании ($A$ или $B$) — тупой. Тогда длина третьей стороны $c$ равна модулю разности длин отрезков $AD$ и $BD$:

$c_2 = AB = |AD - BD| = |\sqrt{b^2 - h^2} - \sqrt{a^2 - h^2}|$

Поскольку для третьей стороны возможно два различных значения ($c_1$ и $c_2$), то можно построить два разных треугольника с заданными элементами.

Пример:

Пусть даны две стороны $a=10$ и $b=17$, и высота к третьей стороне $h=8$.

Найдём длины проекций этих сторон на прямую, содержащую третью сторону:

$AD = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$.

$BD = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$.

Теперь мы можем построить два треугольника:

1. Треугольник $\triangle ABC$, у которого третья сторона $c_1 = AD + BD = 15 + 6 = 21$. Стороны этого треугольника равны 10, 17 и 21.

2. Треугольник $\triangle A_1B_1C_1$, у которого третья сторона $c_2 = AD - BD = 15 - 6 = 9$. Стороны этого треугольника равны 10, 17 и 9.

Оба треугольника удовлетворяют условию задачи: у них есть две соответственно равные стороны (10 и 17) и равная высота (8), проведенная к третьей стороне. Однако сами треугольники не равны, так как их третьи стороны различны ($21 \ne 9$).

Ответ: Нет, нельзя утверждать, что эти треугольники равны, так как при заданных условиях могут существовать два различных треугольника.

510. Проведите прямую $a$ и отметьте на ней точку $M$. Пользуясь угольником, линейкой и циркулем, проведите окружность радиуса $3$ см, которая касается прямой $a$ в точке $M$. Сколько таких окружностей можно провести?

511. Докажите равенство треугольников по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла.

Для доказательства равенства треугольников по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла, рассмотрим два треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.

Дано:
В $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $:
1. $ \angle A = \angle A_1 $
2. $ \angle B = \angle B_1 $
3. $ CH $ — высота, проведенная из вершины $ C $ к прямой $ AB $.
4. $ C_1H_1 $ — высота, проведенная из вершины $ C_1 $ к прямой $ A_1B_1 $.
5. $ CH = C_1H_1 $

Доказать:
$ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $

Доказательство:

1. По теореме о сумме углов треугольника, сумма углов в любом треугольнике равна $ 180^\circ $.
Для $ \triangle ABC $ имеем: $ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) $.
Для $ \triangle A_1B_1C_1 $ имеем: $ \angle C_1 = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1) $.
Поскольку по условию $ \angle A = \angle A_1 $ и $ \angle B = \angle B_1 $, отсюда следует, что и третьи углы равны: $ \angle C = \angle C_1 $.

2. Теперь докажем, что сторона $ AC $ равна стороне $ A_1C_1 $. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотами $ CH $ и $ C_1H_1 $.Рассмотрим $ \triangle AHC $ и $ \triangle A_1H_1C_1 $. Они являются прямоугольными, так как $ CH $ и $ C_1H_1 $ — высоты, то есть $ \angle AHC = \angle A_1H_1C_1 = 90^\circ $.

Рассмотрим три возможных случая в зависимости от величины угла $ A $:

Случай 1: Угол $ A $ — острый ($ \angle A < 90^\circ $).
В этом случае основание высоты $ H $ лежит на стороне $ AB $. Угол $ \angle CAH $ совпадает с углом $ \angle A $.В прямоугольных $ \triangle AHC $ и $ \triangle A_1H_1C_1 $ имеем:
- $ CH = C_1H_1 $ (по условию)
- $ \angle A = \angle A_1 $ (по условию)
Следовательно, $ \triangle AHC \cong \triangle A_1H_1C_1 $ (по равенству катета и противолежащего ему острого угла). Из равенства этих треугольников следует, что их гипотенузы равны: $ AC = A_1C_1 $.

Случай 2: Угол $ A $ — тупой ($ \angle A > 90^\circ $).
В этом случае основание высоты $ H $ лежит на продолжении стороны $ AB $ за точкой $ A $. Угол $ \angle CAH $ является смежным с углом $ \angle A $, поэтому $ \angle CAH = 180^\circ - \angle A $. Аналогично, $ \angle C_1A_1H_1 = 180^\circ - \angle A_1 $.Поскольку $ \angle A = \angle A_1 $, то $ \angle CAH = \angle C_1A_1H_1 $.В прямоугольных $ \triangle AHC $ и $ \triangle A_1H_1C_1 $ имеем:
- $ CH = C_1H_1 $ (по условию)
- $ \angle CAH = \angle C_1A_1H_1 $ (как доказано выше)
Следовательно, $ \triangle AHC \cong \triangle A_1H_1C_1 $ (по равенству катета и прилежащего к нему острого угла). Из этого следует, что $ AC = A_1C_1 $.

Случай 3: Угол $ A $ — прямой ($ \angle A = 90^\circ $).
В этом случае высота $ CH $, проведенная к прямой $ AB $, совпадает со стороной (катетом) $ AC $. Таким образом, $ CH = AC $. Аналогично, $ C_1H_1 = A_1C_1 $.Так как по условию $ CH = C_1H_1 $, то и $ AC = A_1C_1 $.

Таким образом, во всех возможных случаях мы доказали, что сторона $ AC $ равна стороне $ A_1C_1 $.

3. Теперь мы можем применить второй признак равенства треугольников к $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Мы установили, что:
- $ AC = A_1C_1 $ (доказано в п. 2)
- $ \angle A = \angle A_1 $ (по условию)
- $ \angle C = \angle C_1 $ (доказано в п. 1)
Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла, доказано.

511. На рисунке 294 точка $O$ – центр окружности, диаметр $CD$ перпендикулярен хорде $AB$. Докажите, что $\angle AOD = \angle BOD$.

Рис. 294

512. Углы $ABC$ и $DBC$ смежные, луч $BM$ принадлежит углу $ABC$, луч $BK$ – углу $DBC$, $\angle MBC = \angle CBK = 30^\circ$, угол $DBK$ в 5 раз больше угла $ABM$. Найдите углы $ABC$ и $DBC$.

Поскольку углы $∠ABC$ и $∠DBC$ являются смежными, их сумма равна $180°$.
$∠ABC + ∠DBC = 180°$

Согласно условию, луч $BM$ принадлежит углу $ABC$, а луч $BK$ — углу $DBC$. Это означает, что:
$∠ABC = ∠ABM + ∠MBC$
$∠DBC = ∠CBK + ∠DBK$

Из условия задачи известно, что $∠MBC = ∠CBK = 30°$. Также дано, что угол $∠DBK$ в 5 раз больше угла $∠ABM$.

Обозначим градусную меру угла $∠ABM$ как $x$.
$∠ABM = x$
Тогда, согласно условию:
$∠DBK = 5 \cdot ∠ABM = 5x$

Теперь выразим величины углов $∠ABC$ и $∠DBC$ через $x$:
$∠ABC = ∠ABM + ∠MBC = x + 30°$
$∠DBC = ∠CBK + ∠DBK = 30° + 5x$

Подставим эти выражения в уравнение для смежных углов:
$(x + 30°) + (30° + 5x) = 180°$

Решим полученное уравнение:
$6x + 60° = 180°$
$6x = 180° - 60°$
$6x = 120°$
$x = \frac{120°}{6}$
$x = 20°$

Таким образом, мы нашли, что $∠ABM = 20°$.

Теперь можем вычислить искомые углы $∠ABC$ и $∠DBC$:
$∠ABC = x + 30° = 20° + 30° = 50°$
$∠DBC = 5x + 30° = 5 \cdot 20° + 30° = 100° + 30° = 130°$

Ответ: $∠ABC = 50°$, $∠DBC = 130°$.

512. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.