Номер 502, страница 130 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 502, страница 130.

502. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и медиане, проведённой к другому катету.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим два прямоугольных треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $, в которых углы $ C $ и $ C_1 $ являются прямыми ($ \angle C = \angle C_1 = 90^\circ $).

Пусть по условию катет $ AC $ треугольника $ \triangle ABC $ равен катету $ A_1C_1 $ треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $, то есть $ AC = A_1C_1 $.

Также по условию, медиана, проведённая к другому катету, в нашем случае к катету $ BC $, равна соответствующей медиане в другом треугольнике. Пусть $ AM $ — медиана к катету $ BC $ в $ \triangle ABC $, а $ A_1M_1 $ — медиана к катету $ B_1C_1 $ в $ \triangle A_1B_1C_1 $. Таким образом, $ AM = A_1M_1 $.

Нам необходимо доказать, что треугольники равны: $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $.

Доказательство.

1. Рассмотрим треугольник $ \triangle ACM $. Поскольку $ \angle C = 90^\circ $, этот треугольник является прямоугольным. По теореме Пифагора для $ \triangle ACM $ квадрат его гипотенузы $ AM $ равен сумме квадратов катетов $ AC $ и $ CM $:

$AM^2 = AC^2 + CM^2$

2. Аналогично рассмотрим $ \triangle A_1C_1M_1 $. Он также является прямоугольным, так как $ \angle C_1 = 90^\circ $. По теореме Пифагора для $ \triangle A_1C_1M_1 $:

$A_1M_1^2 = A_1C_1^2 + C_1M_1^2$

3. Из условия задачи мы знаем, что $ AM = A_1M_1 $ и $ AC = A_1C_1 $. Это означает, что и квадраты этих сторон равны: $ AM^2 = A_1M_1^2 $ и $ AC^2 = A_1C_1^2 $.

4. Так как $ AM^2 = A_1M_1^2 $, мы можем приравнять правые части выражений, полученных в пунктах 1 и 2:

$AC^2 + CM^2 = A_1C_1^2 + C_1M_1^2$

Поскольку $ AC^2 = A_1C_1^2 $, мы можем вычесть эту величину из обеих частей равенства:

$CM^2 = C_1M_1^2$

Так как длины отрезков — это положительные числа, из равенства их квадратов следует равенство самих отрезков:

$CM = C_1M_1$

5. По определению медианы, точка $ M $ — это середина катета $ BC $, а точка $ M_1 $ — середина катета $ B_1C_1 $. Следовательно, длина всего катета вдвое больше длины отрезка от вершины прямого угла до медианы:

$BC = 2 \cdot CM$

$B_1C_1 = 2 \cdot C_1M_1$

Из того, что $ CM = C_1M_1 $, следует, что $ BC = B_1C_1 $.

6. Теперь сравним треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Мы показали, что:

- катет $ AC = A_1C_1 $ (по условию);

- катет $ BC = B_1C_1 $ (как доказано выше);

- угол между этими катетами $ \angle C = \angle C_1 = 90^\circ $ (по условию).

Следовательно, $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $ по признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам (что является частным случаем первого признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если катет и медиана, проведённая к другому катету, одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и медиане, проведённой к другому катету, другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

502. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектрисы AD и CE. Докажите, что $AE = ED$.