Номер 495, страница 129 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 495, страница 129.

495. На биссектрисе угла с вершиной в точке $B$ отметили точку $M$, из которой опустили перпендикуляры $MD$ и $MC$ на стороны угла. Докажите, что $MD = MC$.

Рассмотрим треугольники, образовавшиеся в результате построений: $\triangle MDB$ и $\triangle MCB$.

По условию задачи, из точки $M$ опущены перпендикуляры $MD$ и $MC$ на стороны угла. Это означает, что углы, образованные этими перпендикулярами и сторонами угла, являются прямыми: $\angle MDB = 90^\circ$ и $\angle MCB = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle MDB$ и $\triangle MCB$ являются прямоугольными.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:
1. Сторона $BM$ является общей для обоих треугольников. Так как она лежит напротив прямых углов $\angle MDB$ и $\angle MCB$, она является их общей гипотенузой.
2. По условию, точка $M$ лежит на биссектрисе угла с вершиной $B$. Биссектриса делит угол на два равных угла, поэтому $\angle DBM = \angle CBM$.

Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника, $\triangle MDB$ и $\triangle MCB$, которые равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Катет $MD$ в треугольнике $\triangle MDB$ лежит напротив угла $\angle DBM$. Катет $MC$ в треугольнике $\triangle MCB$ лежит напротив угла $\angle CBM$. Поскольку $\angle DBM = \angle CBM$, то соответствующие им катеты $MD$ и $MC$ также равны.

Итак, $MD = MC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство отрезков $MD$ и $MC$ доказано. Оно следует из того, что прямоугольные треугольники $\triangle MDB$ и $\triangle MCB$ равны по общей гипотенузе $BM$ и равным острым углам ($\angle DBM = \angle CBM$), а отрезки $MD$ и $MC$ являются их соответствующими катетами.

495. Найдите ГМТ, равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых.