Номер 493, страница 129 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 493, страница 129.

493. На рисунке 304 $AB = CD$, $AB \parallel CD$, $BM \perp AC$, $DK \perp AC$. Докажите, что $BM = DK$.

Рис. 304

Чтобы доказать, что $BM = DK$, рассмотрим два треугольника: $\triangle BMA$ и $\triangle DKC$.

1. Определение типа треугольников.

По условию задачи $BM \perp AC$ и $DK \perp AC$. Это означает, что углы $\angle BMA$ и $\angle DKC$ являются прямыми, то есть $\angle BMA = \angle DKC = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle BMA$ и $\triangle DKC$ — прямоугольные.

2. Сравнение элементов треугольников.

• Гипотенузы $AB$ и $CD$ этих треугольников равны по условию: $AB = CD$.
• Рассмотрим углы $\angle BAM$ и $\angle DCK$. По условию, прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), а прямая $AC$ является секущей. Углы $\angle BAM$ и $\angle DCK$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых и секущей, следовательно, они равны: $\angle BAM = \angle DCK$.

3. Вывод о равенстве треугольников.

Так как прямоугольные треугольники $\triangle BMA$ и $\triangle DKC$ имеют равные гипотенузы ($AB = CD$) и равный острый угол ($\angle BAM = \angle DCK$), то эти треугольники равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу).

4. Заключение.

Из равенства треугольников ($\triangle BMA \cong \triangle DKC$) следует равенство их соответствующих сторон. Катет $BM$ лежит напротив угла $\angle BAM$, а катет $DK$ лежит напротив равного ему угла $\angle DCK$. Таким образом, катеты $BM$ и $DK$ равны: $BM = DK$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BM = DK$ доказано на основании равенства прямоугольных треугольников $\triangle BMA$ и $\triangle DKC$ по гипотенузе и острому углу.

493. Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку.