Номер 496, страница 129 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 496, страница 129.

496. На сторонах угла с вершиной в точке $B$ отметили точки $A$ и $C$ так, что $AB = BC$. Через точки $A$ и $C$ провели прямые, перпендикулярные сторонам $BA$ и $BC$ соответственно, которые пересекаются в точке $O$. Докажите, что луч $BO$ — биссектриса угла $ABC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$.

Согласно условию задачи, через точки A и C проведены прямые, перпендикулярные сторонам BA и BC соответственно, которые пересекаются в точке O. Это означает, что $\angle OAB = 90^\circ$ и $\angle OCB = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$ являются прямоугольными.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

• Сторона $AB$ равна стороне $BC$ ($AB = BC$) по условию задачи. Эти стороны являются катетами в треугольниках $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$ соответственно.
• Сторона $BO$ является общей для обоих треугольников. Эта сторона является гипотенузой в обоих прямоугольных треугольниках.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle CBO$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол, лежащий против катета AO, равен углу, лежащему против катета CO (так как $AO=CO$ из равенства треугольников), то есть $\angle ABO = \angle CBO$.

По определению, луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, является его биссектрисой. Следовательно, луч BO является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

496. Найдите геометрическое место вершин равнобедренных треугольников, имеющих общее основание.