Номер 490, страница 129 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 490, страница 129.

490. На рисунке 302 $AB \perp BC$, $CD \perp BC$, $AC = BD$. Докажите, что $AB = CD$.

Рис. 302

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$.

Согласно условию задачи, $AB \perp BC$ и $CD \perp BC$. Это означает, что углы $\angle ABC$ и $\angle DCB$ являются прямыми, то есть $\angle ABC = 90^\circ$ и $\angle DCB = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$ являются прямоугольными.

Для доказательства равенства отрезков $AB$ и $CD$ докажем равенство этих треугольников. Сравним их элементы:

1. Сторона $BC$ является общей для обоих треугольников. В данных прямоугольных треугольниках это общий катет.

2. Сторона $AC$ является гипотенузой в $\triangle ABC$, а сторона $BD$ — гипотенузой в $\triangle DCB$. По условию дано, что $AC = BD$.

Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника, у которых равны гипотенузы и есть общий катет. По признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету), треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle DCB$.

Из равенства треугольников ($\triangle ABC = \triangle DCB$) следует равенство их соответствующих элементов. Катет $AB$ треугольника $\triangle ABC$ соответствует катету $CD$ треугольника $\triangle DCB$.

Следовательно, $AB = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $AB = CD$ следует из того, что прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$ равны по гипотенузе ($AC=BD$ по условию) и общему катету ($BC$).

490. Отрезки $AB$ и $CD$ – диаметры окружности. Докажите, что $AC \parallel BD$.