Номер 494, страница 129 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 494, страница 129.

494. На рисунке 305 $AB = BC$, $CD \perp AB$, $AE \perp BC$. Докажите, что $BE = BD$.

Рис. 305

Для доказательства равенства отрезков $BE$ и $BD$ рассмотрим треугольники $ \triangle AEB $ и $ \triangle CDB $.

По условию задачи дано, что $ CD \perp AB $ и $ AE \perp BC $. Из этого следует, что углы $ \angle CDB $ и $ \angle AEB $ являются прямыми, то есть $ \angle CDB = 90^\circ $ и $ \angle AEB = 90^\circ $. Таким образом, треугольники $ \triangle CDB $ и $ \triangle AEB $ являются прямоугольными.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

• Гипотенуза $BC$ треугольника $ \triangle CDB $ равна гипотенузе $AB$ треугольника $ \triangle AEB $ по условию ($ AB = BC $).

• Угол $ \angle B $ (или $ \angle ABC $) является общим острым углом для обоих треугольников.

Так как гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то эти треугольники равны. То есть, $ \triangle CDB \cong \triangle AEB $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Катет $BD$ треугольника $ \triangle CDB $ и катет $BE$ треугольника $ \triangle AEB $ являются соответствующими, поскольку они оба прилежат к общему углу $ \angle B $.

Следовательно, $ BE = BD $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямоугольные треугольники $ \triangle CDB $ и $ \triangle AEB $ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому их соответствующие катеты $BD$ и $BE$ также равны.

494. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.