Номер 500, страница 130 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 500, страница 130.

500. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, проведённой из вершины прямого угла.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим два прямоугольных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$.

Пусть $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ – катеты и гипотенуза $\triangle ABC$ соответственно. $CD=h_c$ – высота, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$.

Аналогично, $B_1C_1=a_1$, $A_1C_1=b_1$, $A_1B_1=c_1$ – катеты и гипотенуза $\triangle A_1B_1C_1$. $C_1D_1=h_{c1}$ – высота, проведенная из вершины прямого угла $C_1$ к гипотенузе $A_1B_1$.

Дано:

1. $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ – прямоугольные ($\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$).
2. Катет одного треугольника равен соответствующему катету другого. Без ограничения общности, пусть $a = a_1$ (т.е. $BC = B_1C_1$).
3. Высота, проведенная из вершины прямого угла, у одного треугольника равна соответствующей высоте у другого: $h_c = h_{c1}$.

Доказать:

$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Запишем теорему Пифагора для обоих треугольников:

$a^2 + b^2 = c^2$

$a_1^2 + b_1^2 = c_1^2$

Так как по условию $a = a_1$, то $a^2 = a_1^2$. Выразим $a^2$ из каждого равенства и приравняем их:

$c^2 - b^2 = c_1^2 - b_1^2$ (1)

2. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней.

Для $\triangle ABC$: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch_c$, откуда следует $ab = ch_c$.

Для $\triangle A_1B_1C_1$: $S_1 = \frac{1}{2}a_1b_1 = \frac{1}{2}c_1h_{c1}$, откуда следует $a_1b_1 = c_1h_{c1}$.

Учитывая условия $a = a_1$ и $h_c = h_{c1}$, получаем систему:

$ab = ch_c$

$ab_1 = c_1h_c$

Так как длины сторон и высот треугольника положительны, мы можем разделить первое уравнение на второе:

$\frac{ab}{ab_1} = \frac{ch_c}{c_1h_c}$

$\frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1}$ (2)

3. Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2). Из уравнения (2) выразим $b = b_1 \frac{c}{c_1}$ и подставим это выражение в уравнение (1):

$c^2 - (b_1 \frac{c}{c_1})^2 = c_1^2 - b_1^2$

$c^2 - b_1^2 \frac{c^2}{c_1^2} = c_1^2 - b_1^2$

$c^2(1 - \frac{b_1^2}{c_1^2}) = c_1^2 - b_1^2$

$c^2(\frac{c_1^2 - b_1^2}{c_1^2}) = c_1^2 - b_1^2$

Из теоремы Пифагора для $\triangle A_1B_1C_1$ следует, что $c_1^2 - b_1^2 = a_1^2$. Поскольку $a_1$ — это длина катета, $a_1 > 0$, и значит $c_1^2 - b_1^2 \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $(c_1^2 - b_1^2)$:

$\frac{c^2}{c_1^2} = 1$

$c^2 = c_1^2$

Поскольку длины гипотенуз $c$ и $c_1$ являются положительными величинами, отсюда следует, что $c = c_1$.

4. Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых равны катет ($BC = B_1C_1$ по условию) и гипотенуза ($AB = A_1B_1$ по доказанному). Следовательно, эти треугольники равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, проведённой из вершины прямого угла, доказано.

500. Даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек X таких, что $AX > BX$.