Номер 507, страница 130 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 507, страница 130.

507. Докажите равенство остроугольных треугольников по стороне и проведённым к ней медиане и высоте.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом последовательного доказательства равенства треугольников, из которых состоят исходные треугольники.

Дано:
Рассмотрим два остроугольных треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$.
В них проведены высоты $BH$ и $B_1H_1$ к сторонам $AC$ и $A_1C_1$ соответственно, и медианы $BM$ и $B_1M_1$ к тем же сторонам.
По условию нам известно, что:
1. Стороны, к которым проведены высота и медиана, равны: $AC = A_1C_1$.
2. Медианы равны: $BM = B_1M_1$.
3. Высоты равны: $BH = B_1H_1$.

Доказать:
$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BHM$ и $\triangle B_1H_1M_1$. Они прямоугольные, так как $BH \perp AC$ и $B_1H_1 \perp A_1C_1$ по определению высоты.
В этих треугольниках:

• $BM = B_1M_1$ (гипотенузы, по условию).
• $BH = B_1H_1$ (катеты, по условию).

Следовательно, $\triangle BHM \cong \triangle B_1H_1M_1$ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).
Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $HM = H_1M_1$.

2. Так как $BM$ и $B_1M_1$ — медианы, точки $M$ и $M_1$ являются серединами сторон $AC$ и $A_1C_1$ соответственно.
$AM = MC = \frac{1}{2}AC$
$A_1M_1 = M_1C_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$
Поскольку по условию $AC = A_1C_1$, то $AM = A_1M_1$ и $MC = M_1C_1$.

3. Теперь найдем длины отрезков $AH, CH, A_1H_1, C_1H_1$. Так как треугольники остроугольные, основания высот $H$ и $H_1$ лежат на сторонах $AC$ и $A_1C_1$ (а не на их продолжениях).
Рассмотрим отрезки на стороне $AC$. Точка $H$ может лежать либо между $A$ и $M$, либо между $M$ и $C$. Предположим, для определенности, что $H$ лежит между $A$ и $M$ (второй случай рассматривается абсолютно аналогично).
Тогда $AH = AM - HM$ и $CH = CM + HM = AM + HM$.
Аналогично для второго треугольника, так как $\triangle BHM \cong \triangle B_1H_1M_1$, взаимное расположение точек $A_1, H_1, M_1$ будет таким же.
$A_1H_1 = A_1M_1 - H_1M_1$ и $C_1H_1 = C_1M_1 + H_1M_1 = A_1M_1 + H_1M_1$.
Так как мы уже установили, что $AM = A_1M_1$ и $HM = H_1M_1$, мы можем заключить, что $AH = A_1H_1$ и $CH = C_1H_1$.

4. Теперь мы можем доказать равенство исходных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ по третьему признаку (по трем сторонам).
- Сторона 1: $AC = A_1C_1$ по условию.
- Сторона 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. По теореме Пифагора $AB^2 = AH^2 + BH^2$. Аналогично, в $\triangle A_1B_1H_1$ имеем $A_1B_1^2 = A_1H_1^2 + B_1H_1^2$. Так как $AH = A_1H_1$ и $BH = B_1H_1$, то $AB^2 = A_1B_1^2$, а значит $AB = A_1B_1$.
- Сторона 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CBH$. По теореме Пифагора $BC^2 = CH^2 + BH^2$. Аналогично, в $\triangle C_1B_1H_1$ имеем $B_1C_1^2 = C_1H_1^2 + B_1H_1^2$. Так как $CH = C_1H_1$ и $BH = B_1H_1$, то $BC^2 = B_1C_1^2$, а значит $BC = B_1C_1$.

Таким образом, все три стороны треугольника $ABC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $A_1B_1C_1$. Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

Ответ: Равенство треугольников доказано.

507. Начертите окружность с центром $O$, проведите хорду $AB$. Пользуясь угольником, разделите эту хорду пополам.