Номер 508, страница 130 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 508, страница 130.

508. Высоты $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$, $HK = HM$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\Delta AKH$ и $\Delta CMH$. Так как $AM$ и $CK$ являются высотами треугольника $ABC$, они перпендикулярны сторонам $BC$ и $AB$ соответственно. Следовательно, $\angle AMC = 90^\circ$ и $\angle AKC = 90^\circ$.

Поскольку точка $H$ лежит на высотах $AM$ и $CK$, то $\angle CMH = 90^\circ$ и $\angle AKH = 90^\circ$. Это означает, что треугольники $\Delta AKH$ и $\Delta CMH$ являются прямоугольными.

2. Сравним эти два прямоугольных треугольника:

- Катет $HK$ равен катету $HM$ по условию задачи ($HK = HM$).
- Угол $\angle AHK$ равен углу $\angle CHM$ как вертикальные углы ($\angle AHK = \angle CHM$). Эти углы являются острыми и прилежат к катетам $KH$ и $MH$ соответственно.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\Delta AKH$ и $\Delta CMH$ равны по катету и прилежащему к нему острому углу.

3. Из равенства треугольников $\Delta AKH \cong \Delta CMH$ следует равенство их соответствующих сторон. В частности, равны их гипотенузы: $AH = CH$.

4. Теперь найдем длины высот $AM$ и $CK$.
Длина высоты $AM$ равна сумме отрезков $AH$ и $HM$: $AM = AH + HM$.
Длина высоты $CK$ равна сумме отрезков $CH$ и $HK$: $CK = CH + HK$.
Поскольку $AH = CH$ (из п.3) и $HM = HK$ (по условию), то $AH + HM = CH + HK$.
Таким образом, высоты треугольника равны: $AM = CK$.

5. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\Delta ABM$ и $\Delta CBK$.
- $\angle AMB = 90^\circ$ и $\angle CKB = 90^\circ$.
- Катеты $AM$ и $CK$ равны, как было доказано выше ($AM = CK$).
- Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников. Этот угол противолежит катетам $AM$ и $CK$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\Delta ABM$ и $\Delta CBK$ равны по катету и противолежащему острому углу.

6. Из равенства треугольников $\Delta ABM \cong \Delta CBK$ следует равенство их гипотенуз: $AB = BC$.

Поскольку две стороны треугольника $ABC$ равны, он является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, треугольник ABC является равнобедренным.

508. Начертите окружность с центром $O$, проведите хорду $CD$. Пользуясь линейкой со шкалой, проведите диаметр, перпендикулярный хорде $CD$.