Номер 510, страница 130 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 510, страница 130.

510. Можно ли утверждать, что если две стороны и высота, проведённая к третьей стороне, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте, проведённой к третьей стороне, другого треугольника, то эти треугольники равны?

Нет, такое утверждение неверно. Можно построить два разных (неравных) треугольника, которые будут удовлетворять заданному условию.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Пусть в $\triangle ABC$ стороны $AC = b$, $BC = a$, а высота $CD$, проведенная к стороне $AB$, равна $h$.

Пусть в $\triangle A_1B_1C_1$ стороны $A_1C_1 = b$, $B_1C_1 = a$, а высота $C_1D_1$, проведенная к стороне $A_1B_1$, также равна $h$.

По условию, две стороны и высота к третьей стороне одного треугольника равны двум сторонам и высоте к третьей стороне другого.

Длину третьей стороны $c=AB$ можно найти, рассмотрев прямоугольные треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$, которые образуются при проведении высоты $CD$. По теореме Пифагора:

$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{b^2 - h^2}$

$BD = \sqrt{BC^2 - CD^2} = \sqrt{a^2 - h^2}$

Существует два возможных случая расположения основания высоты $D$ на прямой, содержащей сторону $AB$:

1. Точка D лежит на отрезке AB. Это соответствует случаю, когда углы при основании $A$ и $B$ — острые. Тогда длина третьей стороны $c$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $BD$:

$c_1 = AB = AD + BD = \sqrt{b^2 - h^2} + \sqrt{a^2 - h^2}$

2. Точка D лежит на прямой AB вне отрезка AB. Это соответствует случаю, когда один из углов при основании ($A$ или $B$) — тупой. Тогда длина третьей стороны $c$ равна модулю разности длин отрезков $AD$ и $BD$:

$c_2 = AB = |AD - BD| = |\sqrt{b^2 - h^2} - \sqrt{a^2 - h^2}|$

Поскольку для третьей стороны возможно два различных значения ($c_1$ и $c_2$), то можно построить два разных треугольника с заданными элементами.

Пример:

Пусть даны две стороны $a=10$ и $b=17$, и высота к третьей стороне $h=8$.

Найдём длины проекций этих сторон на прямую, содержащую третью сторону:

$AD = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$.

$BD = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$.

Теперь мы можем построить два треугольника:

1. Треугольник $\triangle ABC$, у которого третья сторона $c_1 = AD + BD = 15 + 6 = 21$. Стороны этого треугольника равны 10, 17 и 21.

2. Треугольник $\triangle A_1B_1C_1$, у которого третья сторона $c_2 = AD - BD = 15 - 6 = 9$. Стороны этого треугольника равны 10, 17 и 9.

Оба треугольника удовлетворяют условию задачи: у них есть две соответственно равные стороны (10 и 17) и равная высота (8), проведенная к третьей стороне. Однако сами треугольники не равны, так как их третьи стороны различны ($21 \ne 9$).

Ответ: Нет, нельзя утверждать, что эти треугольники равны, так как при заданных условиях могут существовать два различных треугольника.

510. Проведите прямую $a$ и отметьте на ней точку $M$. Пользуясь угольником, линейкой и циркулем, проведите окружность радиуса $3$ см, которая касается прямой $a$ в точке $M$. Сколько таких окружностей можно провести?