Номер 509, страница 130 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 509, страница 130.

509. Высоты $ME$ и $NF$ треугольника $MKN$ пересекаются в точке $O$, $OM = ON$, $MF = KE$. Докажите, что треугольник $MKN$ равносторонний.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OFM$ и $\triangle OEN$.
Поскольку $NF$ и $ME$ — высоты, то $\angle OFM = 90^\circ$ и $\angle OEN = 90^\circ$ (так как $NF \perp MK$ и $ME \perp KN$).
По условию дано, что $OM = ON$. Эти стороны являются гипотенузами в данных треугольниках.
Углы $\angle FOM$ и $\angle EON$ равны как вертикальные углы.
Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OFM$ и $\triangle OEN$ равны по гипотенузе и острому углу ($\triangle OFM \cong \triangle OEN$).

Из равенства треугольников $\triangle OFM$ и $\triangle OEN$ следует равенство их соответствующих катетов: $MF = EN$ и $OF = OE$.

В условии задачи также дано, что $MF = KE$. Сопоставляя это равенство с полученным нами равенством $MF = EN$, приходим к выводу, что $KE = EN$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle MEK$ и $\triangle MEN$.
Так как $ME$ — высота к стороне $KN$, то $\angle MEK = \angle MEN = 90^\circ$, то есть оба треугольника являются прямоугольными.
Сторона $ME$ у них общая.
Катеты $KE$ и $EN$ равны, как было доказано выше ($KE = EN$).
Следовательно, $\triangle MEK \cong \triangle MEN$ по двум катетам.

Из равенства треугольников $\triangle MEK$ и $\triangle MEN$ следует равенство их гипотенуз: $MK = MN$. Таким образом, мы доказали, что треугольник $MKN$ является равнобедренным.

Далее сравним длины высот $ME$ и $NF$. Высота $ME$ состоит из отрезков $MO$ и $OE$, то есть $ME = MO + OE$. Высота $NF$ состоит из отрезков $NO$ и $OF$, то есть $NF = NO + OF$.
По условию $OM = ON$, а из равенства треугольников $\triangle OFM$ и $\triangle OEN$ мы получили, что $OE = OF$. Сложив эти два равенства ($OM+OE = ON+OF$), получаем, что $ME = NF$.

Мы установили, что в треугольнике $MKN$ две высоты равны: $ME = NF$. Высота $ME$ проведена к стороне $KN$, а высота $NF$ — к стороне $MK$. В любом треугольнике стороны, к которым проведены равные высоты, также равны. Отсюда следует, что $KN = MK$.

Объединяя полученные результаты $MK = MN$ и $KN = MK$, мы имеем $MK = MN = KN$.

Так как все три стороны треугольника $MKN$ равны, он является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что треугольник $MKN$ равносторонний, доказано.

509. Начертите окружность, отметьте на ней точки $A$ и $B$. Пользуясь линейкой и угольником, проведите прямые, которые касаются окружности в точках $A$ и $B$.