Номер 514, страница 131 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 18. Прямоугольный треугольник. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 514, страница 131.

514. На рисунке 306 $AB = CD$, $BC = AD$. Докажите, что $AO = OC$.

Рис. 306

Для доказательства равенства $ AO = OC $, рассмотрим четырехугольник $ ABCD $.

1. Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle CDA $. В этих треугольниках:

• $ AB = CD $ (по условию)
• $ BC = AD $ (по условию)
• $ AC $ — общая сторона

Следовательно, $ \triangle ABC \cong \triangle CDA $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

2. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $ \angle BAC = \angle DCA $ и $ \angle BCA = \angle DAC $.

3. Углы $ \angle BAC $ и $ \angle DCA $ являются накрест лежащими при прямых $ AB $ и $ CD $ и секущей $ AC $. Поскольку эти углы равны, то прямые $ AB $ и $ CD $ параллельны ($ AB \parallel CD $).
Аналогично, углы $ \angle BCA $ и $ \angle DAC $ являются накрест лежащими при прямых $ BC $ и $ AD $ и секущей $ AC $. Поскольку эти углы равны, то прямые $ BC $ и $ AD $ параллельны ($ BC \parallel AD $).

4. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Таким образом, $ ABCD $ — это параллелограмм.

5. Одним из свойств параллелограмма является то, что его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Диагонали $ AC $ и $ BD $ пересекаются в точке $ O $. Следовательно, точка $ O $ является серединой диагонали $ AC $.

Из этого следует, что $ AO = OC $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ AO = OC $ доказано.

514. Верно ли, что прямая, перпендикулярная радиусу окружности, касается этой окружности?