Номер 3, страница 132 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 19. Свойства прямоугольного треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 3, страница 132.

3. Какова градусная мера угла, лежащего против катета, равного половине гипотенузы?

Этот вопрос относится к известному свойству прямоугольного треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором один из катетов равен половине гипотенузы.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник, где $c$ — длина гипотенузы, а $a$ — длина катета, о котором идет речь в задаче. Угол, лежащий напротив этого катета, обозначим как $\alpha$.

По условию задачи, $a = \frac{1}{2}c$.

Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Для угла $\alpha$ это записывается так:
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$

Подставим в эту формулу значение $a$ из условия:
$\sin(\alpha) = \frac{\frac{1}{2}c}{c} = \frac{1}{2}$

Углом, синус которого равен $\frac{1}{2}$, является угол в $30^\circ$. Так как в прямоугольном треугольнике острые углы могут быть только от $0^\circ$ до $90^\circ$, то искомый угол однозначно равен $30^\circ$.

Это свойство можно сформулировать как теорему: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Обратное утверждение также верно: если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$

3. Какова градусная мера угла, лежащего против катета, равного половине гипотенузы?