Номер 521, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 19. Свойства прямоугольного треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 521, страница 133.

521. В треугольнике ABC $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, отрезок CD – высота, $BD = 7$ см. Найдите гипотенузу AB.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а нам даны $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 30^\circ$, мы можем найти угол $B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $BDC$. Так как $CD$ – высота, проведенная к стороне $AB$, то $\angle CDB = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $BDC$ является прямоугольным.

3. В прямоугольном треугольнике $BDC$ нам известны два угла: $\angle CDB = 90^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$. Найдем третий угол, $\angle BCD$:

$\angle BCD = 180^\circ - \angle CDB - \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

4. В прямоугольном треугольнике $BDC$ катет $BD$ лежит напротив угла $\angle BCD$, равного $30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В данном треугольнике гипотенузой является сторона $BC$.

Следовательно, $BD = \frac{1}{2} BC$.

Зная, что $BD = 7$ см, находим длину катета $BC$:

$BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot 7 = 14$ см.

5. Вернемся к исходному прямоугольному треугольнику $ABC$. В нем катет $BC$ лежит напротив угла $\angle A$, равного $30^\circ$. Применим то же свойство: катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы $AB$.

$BC = \frac{1}{2} AB$.

Отсюда находим длину гипотенузы $AB$:

$AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 14 = 28$ см.

Ответ: 28 см.

521. Найдите угол между радиусами $OA$ и $OB$ окружности, если расстояние от центра $O$ окружности до хорды $AB$ в 2 раза меньше:

1) длины хорды $AB$;

2) радиуса окружности.