Номер 528, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 19. Свойства прямоугольного треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 528, страница 133.

528. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $BC$ провели высоту $BM$, $BM = 7,5 \text{ см}$, $\angle MBC = 15^\circ$. Найдите боковую сторону треугольника.

Поскольку $BM$ — высота в треугольнике $ABC$, она перпендикулярна стороне $AC$. Следовательно, треугольник $BMC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$ ($\angle BMC = 90^\circ$).
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. В треугольнике $BMC$ мы знаем $\angle MBC = 15^\circ$, значит, можем найти угол $\angle MCB$:
$\angle MCB = 90^\circ - \angle MBC = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.

Треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$. Это означает, что углы при основании равны:
$\angle ABC = \angle ACB = 75^\circ$.

Угол $\angle ABC$ можно представить как сумму двух углов: $\angle ABM$ и $\angle MBC$.
$\angle ABC = \angle ABM + \angle MBC$
Подставив известные значения, найдем угол $\angle ABM$:
$75^\circ = \angle ABM + 15^\circ$
$\angle ABM = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ ($\angle BMA = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны катет $BM = 7.5$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle ABM = 60^\circ$. Боковая сторона $AB$ является гипотенузой этого треугольника.
Для нахождения гипотенузы воспользуемся определением косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
$\cos(\angle ABM) = \frac{BM}{AB}$
Подставим известные значения. Мы знаем, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2} = \frac{7.5}{AB}$
Из этого уравнения выразим $AB$:
$AB = 7.5 \cdot 2 = 15$ см.

Так как $AB$ — это боковая сторона равнобедренного треугольника, то мы нашли искомую величину.

Ответ: 15 см.

528. Известно, что диаметр $AB$ делит хорду $CD$ пополам, но не перпендикулярен ей. Докажите, что $CD$ – также диаметр.