Номер 533, страница 134 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 19. Свойства прямоугольного треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 533, страница 134.

533. На рисунке 311 $AB = BC, AM = KC, \angle AKE = \angle FMC$. Докажите, что треугольник $FBE$ равнобедренный.

Рис. 311

Доказательство

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. По условию $AB = BC$, следовательно, $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle BAC = \angle BCA$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle AEK$ и $\triangle CFM$. Для доказательства их равенства сравним их элементы:
а) $\angle EAK = \angle FCM$ (как углы при основании равнобедренного $\triangle ABC$).
б) Рассмотрим отрезки $AK$ и $CM$. Они состоят из частей: $AK = AM + MK$ и $CM = CK + MK$. По условию $AM = KC$, следовательно $AK = KC + MK = CM$.
в) $\angle AKE = \angle FMC$ (по условию).

Таким образом, $\triangle AEK \cong \triangle CFM$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

3. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, то есть $AE = CF$.

4. По условию задачи $AB = BC$. Точки $E$ и $F$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Найдем длины отрезков $EB$ и $FB$:
$EB = AB - AE$
$FB = BC - CF$
Поскольку $AB = BC$ и $AE = CF$, то правые части этих равенств равны, а значит равны и левые: $EB = FB$.

5. В треугольнике $FBE$ две стороны ($EB$ и $FB$) равны. По определению, такой треугольник является равнобедренным.

Ответ: Треугольник $FBE$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

533. Окружность касается стороны $AB$ треугольника $ABC$ в точке $M$ и касается продолжения двух других сторон. Докажите, что сумма длин отрезков $BC$ и $BM$ равна половине периметра треугольника $ABC$.