Номер 532, страница 134 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 19. Свойства прямоугольного треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 532, страница 134.

532. В треугольнике ABC $\angle C = 90^\circ$, $\angle BAC = 60^\circ$, отрезок AD — биссектриса, отрезок CD на 3 см меньше отрезка BD. Найдите биссектрису AD.

По условию, в треугольнике $ABC$ угол $∠C = 90°$ и угол $∠BAC = 60°$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, следовательно, мы можем найти угол $∠ABC$:
$∠ABC = 180° - ∠C - ∠BAC = 180° - 90° - 60° = 30°$.

Отрезок $AD$ является биссектрисой угла $∠BAC$. Это означает, что он делит угол $∠BAC$ на два равных угла: $∠CAD = ∠DAB = \frac{∠BAC}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Мы знаем, что $∠ABD = 30°$ и $∠DAB = 30°$. Так как два угла в этом треугольнике равны, треугольник $ABD$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $AD = BD$.

Далее рассмотрим треугольник $ACD$. Он является прямоугольным, так как $∠C = 90°$. В этом треугольнике нам известен угол $∠CAD = 30°$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы. Катет $CD$ лежит напротив угла $∠CAD$, а гипотенузой является отрезок $AD$. Таким образом, мы можем записать соотношение: $CD = \frac{1}{2} AD$, что эквивалентно $AD = 2 \cdot CD$.

Теперь у нас есть система из трех соотношений:
1. $CD = BD - 3$ (из условия задачи)
2. $AD = BD$ (из свойств равнобедренного треугольника $ABD$)
3. $AD = 2 \cdot CD$ (из свойств прямоугольного треугольника $ACD$)

Используя второе равенство ($AD = BD$), подставим $AD$ вместо $BD$ в первое равенство: $CD = AD - 3$.

Теперь у нас есть два уравнения, связывающие $AD$ и $CD$:
$AD = 2 \cdot CD$
$CD = AD - 3$

Подставим второе уравнение в первое: $AD = 2 \cdot (AD - 3)$
$AD = 2 \cdot AD - 6$
$2 \cdot AD - AD = 6$
$AD = 6$ см.

Ответ: 6 см.

532. Прямые, касающиеся окружности с центром $O$ в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $K$, $\angle AKB = 120^\circ$. Докажите, что $AK + BK = OK$.