Номер 530, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 19. Свойства прямоугольного треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 530, страница 133.

530. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 30^\circ$. Серединный перпендикуляр отрезка $AB$ пересекает его в точке $M$, а отрезок $BC$ – в точке $K$.

Докажите, что $MK = \frac{1}{3}BC$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, $\angle C = 90^\circ$ и $\angle B = 30^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол $\angle A$ равен:

$\angle A = 180^\circ - \angle C - \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

2. Прямая $MK$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. По определению серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Так как точка $K$ лежит на прямой $MK$, то она равноудалена от точек $A$ и $B$. Следовательно, $AK = BK$.

3. Рассмотрим треугольник $AKB$. Поскольку $AK = BK$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит:

$\angle KAB = \angle KBA = \angle B = 30^\circ$.

4. Теперь мы можем найти угол $\angle KAC$:

$\angle KAC = \angle BAC - \angle KAB = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKC$ ($\angle C = 90^\circ$). В этом треугольнике катет $KC$ лежит напротив угла $\angle KAC = 30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Таким образом:

$KC = \frac{1}{2}AK$.

6. Из пункта 2 мы знаем, что $AK = BK$. Заменим $AK$ на $BK$ в предыдущем равенстве:

$KC = \frac{1}{2}BK$.

7. Весь отрезок $BC$ состоит из отрезков $BK$ и $KC$, то есть $BC = BK + KC$. Подставим выражение для $KC$ из пункта 6:

$BC = BK + \frac{1}{2}BK = \frac{3}{2}BK$.

Выразим отсюда $BK$:

$BK = \frac{2}{3}BC$.

8. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MBK$. Он прямоугольный, так как $MK$ — перпендикуляр к $AB$, значит $\angle KMB = 90^\circ$. В этом треугольнике катет $MK$ лежит напротив угла $\angle B = 30^\circ$. Тогда гипотенуза $BK$ связана с катетом $MK$ через синус:

$MK = BK \cdot \sin(\angle B) = BK \cdot \sin(30^\circ)$.

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$MK = BK \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}BK$.

9. Наконец, подставим в это равенство выражение для $BK$ из пункта 7:

$MK = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}BC\right) = \frac{1}{3}BC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $MK = \frac{1}{3}BC$.

530. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются обеих сторон данного угла.