Номер 526, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 19. Свойства прямоугольного треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 526, страница 133.

526. На катете $AC$ треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) отметили точку $K$ так, что $AK = BK$. Найдите угол $A$, если $AK = 6$ см, $KC = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Точка $K$ лежит на катете $AC$.

По условию, $AK = 6$ см и $KC = 3$ см. Поскольку точка $K$ находится на отрезке $AC$, мы можем найти длину катета $AC$ как сумму длин отрезков $AK$ и $KC$:$AC = AK + KC = 6 \text{ см} + 3 \text{ см} = 9 \text{ см}$.

Также по условию дано, что $AK = BK$. Следовательно, длина отрезка $BK$ также равна $6$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $BKC$. Так как $\angle C$ в треугольнике $ABC$ прямой, то треугольник $BKC$ также является прямоугольным с прямым углом $C$. В этом треугольнике $KC$ и $BC$ — катеты, а $BK$ — гипотенуза.

Используя теорему Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), найдем длину катета $BC$:$BC^2 + KC^2 = BK^2$$BC^2 + 3^2 = 6^2$$BC^2 + 9 = 36$$BC^2 = 36 - 9 = 27$$BC = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная длины обоих катетов в исходном прямоугольном треугольнике $ABC$ ($AC = 9$ см и $BC = 3\sqrt{3}$ см), мы можем найти величину угла $A$. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:$\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC}$

Подставим известные значения:$\tan(\angle A) = \frac{3\sqrt{3}}{9} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Значение тангенса $\frac{\sqrt{3}}{3}$ соответствует углу $30^\circ$. Таким образом, искомый угол $A$ равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

526. Прямая $AC$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$ (рис. 296). Докажите, что угол $\angle BAC$ в 2 раза меньше угла $\angle AOB$.

Рис. 294

Рис. 295

Рис. 296