Номер 520, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 19. Свойства прямоугольного треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 520, страница 133.

520. В треугольнике ABC $\angle A = 30^{\circ}$, $\angle B = 45^{\circ}$, отрезок CK – высота, $AC = 10 \text{ см}$. Найдите отрезок BK.

По условию задачи, отрезок $CK$ является высотой в треугольнике $ABC$, проведенной к стороне $AB$. Это означает, что $CK$ перпендикулярна $AB$, и, следовательно, образует два прямоугольных треугольника: $\triangle AKC$ и $\triangle BKC$. Угол $\angle CKA$ и угол $\angle CKB$ равны $90^{\circ}$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKC$. В нем нам известны гипотенуза $AC = 10$ см и прилежащий к ней острый угол $\angle A = 30^{\circ}$. Высота $CK$ является катетом, который лежит напротив угла $A$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Исходя из этого свойства, находим длину $CK$:

$CK = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC$. В нем нам известен катет $CK = 5$ см (найденный на предыдущем шаге) и острый угол $\angle B = 45^{\circ}$. Нам необходимо найти длину второго катета $BK$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$. Найдем второй острый угол этого треугольника, $\angle BCK$:

$\angle BCK = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$.

Так как в треугольнике $BKC$ два угла равны ($\angle B = \angle BCK = 45^{\circ}$), то этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Сторона $BK$ лежит напротив угла $\angle BCK$, а сторона $CK$ — напротив угла $\angle B$. Следовательно, их длины равны:

$BK = CK$.

Поскольку мы уже знаем, что $CK = 5$ см, то и $BK = 5$ см.

Ответ: 5 см.

520. В окружности с центром O через середину радиуса провели хорду AB, перпендикулярную ему. Докажите, что $\angle AOB = 120^\circ$.