Номер 523, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 19. Свойства прямоугольного треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 523, страница 133.

523. В равностороннем треугольнике $ABC$ точка $D$ – середина стороны $AB$. Из этой точки опущен перпендикуляр $DE$ на сторону $AC$. Найдите отрезки, на которые точка $E$ разбивает отрезок $AC$, если сторона данного треугольника равна $16\text{ см}$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равносторонним, все его стороны равны 16 см, а все углы равны $60^\circ$. Следовательно, $AB = AC = 16$ см и $\angle A = 60^\circ$.

По условию, точка $D$ — середина стороны $AB$. Это означает, что длина отрезка $AD$ составляет половину длины стороны $AB$:
$AD = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Рассмотрим треугольник $ADE$. Из условия известно, что $DE$ — перпендикуляр, опущенный на сторону $AC$. Таким образом, угол $\angle AED$ прямой и равен $90^\circ$, а треугольник $ADE$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $ADE$ нам известны гипотенуза $AD = 8$ см и прилежащий к катету $AE$ угол $\angle A = 60^\circ$. Длину катета $AE$ можно найти, используя определение косинуса: $\cos(\angle A) = \frac{AE}{AD}$

Выразим из формулы $AE$ и подставим известные значения:
$AE = AD \cdot \cos(\angle A) = 8 \cdot \cos(60^\circ)$

Значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$. Вычислим длину $AE$:
$AE = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Точка $E$ лежит на стороне $AC$ и делит ее на два отрезка: $AE$ и $EC$. Длина всей стороны $AC$ равна 16 см. Чтобы найти длину второго отрезка $EC$, нужно из длины всего отрезка $AC$ вычесть длину отрезка $AE$:
$EC = AC - AE = 16 - 4 = 12$ см.

Ответ: точка $E$ разбивает отрезок $AC$ на отрезки длиной 4 см и 12 см.

523. Через точку M к окружности с центром O провели касательные MA и MB, A и B – точки касания, $ \angle OAB = 20^\circ $. Найдите $ \angle AMB $.