Номер 524, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 19. Свойства прямоугольного треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 524, страница 133.

524. Один из углов прямоугольного треугольника равен $30^\circ$, а разность гипотенузы и меньшего катета — 5 см. Найдите эти стороны треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен $30^\circ$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому третий угол будет равен $180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

В треугольнике напротив меньшего угла лежит меньшая сторона. Следовательно, меньший катет лежит напротив угла в $30^\circ$.

Обозначим:

• $a$ – меньший катет (лежащий напротив угла $30^\circ$);
• $b$ – больший катет (лежащий напротив угла $60^\circ$);
• $c$ – гипотенуза.

По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. То есть:

$a = \frac{c}{2}$

Отсюда следует, что $c = 2a$.

По условию задачи, разность гипотенузы и меньшего катета равна 5 см:

$c - a = 5$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение $c = 2a$ во второе уравнение:

$2a - a = 5$

$a = 5$ см

Мы нашли длину меньшего катета. Теперь найдем гипотенузу:

$c = 2a = 2 \cdot 5 = 10$ см

Осталось найти второй (больший) катет $b$. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$5^2 + b^2 = 10^2$

$25 + b^2 = 100$

$b^2 = 100 - 25$

$b^2 = 75$

$b = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ см

Таким образом, мы нашли все три стороны треугольника.

Ответ: стороны треугольника равны 5 см, 10 см и $5\sqrt{3}$ см.

524. Через концы хорды $AB$, равной радиусу окружности, провели две касательные, пересекающиеся в точке $C$. Найдите $\angle ACB$.