Номер 529, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 19. Свойства прямоугольного треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 529, страница 133.

529. Биссектрисы $AM$ и $BK$ равностороннего треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $AO : OM = 2 : 1$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равносторонним, все его углы равны $60^\circ$, а все стороны равны между собой. Ключевым свойством равностороннего треугольника является то, что биссектриса, проведенная из любого угла, является одновременно и медианой, и высотой.

1. По условию, $AM$ — биссектриса угла $A$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, $AM$ также является его медианой, проведенной к стороне $BC$.

2. Аналогично, $BK$ — биссектриса угла $B$, и, следовательно, $BK$ также является медианой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AC$.

3. Точка $O$ является точкой пересечения отрезков $AM$ и $BK$. Поскольку $AM$ и $BK$ являются медианами треугольника, их точка пересечения $O$ является центром тяжести (или центроидом) треугольника $ABC$.

4. Существует свойство медиан треугольника, согласно которому все три медианы пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.

5. Применим это свойство к медиане $AM$. Точка $O$ делит медиану $AM$ на два отрезка, $AO$ (от вершины до центроида) и $OM$ (от центроида до основания), в отношении:

$AO : OM = 2 : 1$

Таким образом, требуемое утверждение доказано.

Альтернативное решение (через теорему о биссектрисе):

1. Рассмотрим треугольник $ABM$. В равностороннем треугольнике $ABC$ биссектриса $AM$ является также высотой, поэтому $\angle AMB = 90^\circ$.

2. Отрезок $BO$ является частью биссектрисы $BK$ угла $B$, поэтому $BO$ является биссектрисой угла $ABM$ (то есть угла $B$).

3. По теореме о биссектрисе угла в треугольнике, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Применим это свойство для треугольника $ABM$ и биссектрисы $BO$:

$\frac{AO}{OM} = \frac{AB}{BM}$

4. Пусть длина стороны равностороннего треугольника $ABC$ равна $a$. Тогда $AB = a$. Так как $AM$ является медианой, точка $M$ — середина стороны $BC$, следовательно, $BM = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$.

5. Подставим значения длин в пропорцию:

$\frac{AO}{OM} = \frac{a}{a/2} = 2$

Отсюда следует, что $AO : OM = 2 : 1$.

Ответ: Доказано, что $AO : OM = 2 : 1$.

529. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой в данной точке.