Номер 535, страница 134 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 19. Свойства прямоугольного треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 535, страница 134.

535. На рисунке 312 $BC \parallel AD$, луч $CA$ – биссектриса угла $BCD$, $AD = 9$ см, $AC = 8$ см. Найдите периметр треугольника $CAD$.

Рис. 312

Периметр треугольника $CAD$ равен сумме длин его сторон: $P_{CAD} = CA + AD + CD$.

Из условия задачи нам известны длины двух сторон: $AC = 8$ см и $AD = 9$ см. Необходимо найти длину стороны $CD$.

Рассмотрим параллельные прямые $BC$ и $AD$ и секущую $AC$. Углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются накрест лежащими углами, следовательно, они равны:

$\angle BCA = \angle CAD$.

По условию, луч $CA$ является биссектрисой угла $BCD$. Это означает, что он делит угол на две равные части:

$\angle BCA = \angle ACD$.

Из этих двух равенств следует, что:

$\angle CAD = \angle ACD$.

Рассмотрим треугольник $CAD$. Так как два его угла ($\angle CAD$ и $\angle ACD$) равны, то треугольник $CAD$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $CD = AD$.

Поскольку $AD = 9$ см, то и $CD = 9$ см.

Теперь мы можем вычислить периметр треугольника $CAD$:

$P_{CAD} = AC + AD + CD = 8 + 9 + 9 = 26$ см.

Ответ: 26 см.

535. Докажите, что середина $M$ отрезка, концы которого принадлежат двум параллельным прямым, является серединой любого отрезка, который проходит через точку $M$ и концы которого принадлежат этим прямым.