Номер 5, страница 136 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 3 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 5, страница 136.

5. Какое из следующих утверждений неверно?

А) если сумма углов одной пары накрест лежащих углов равна сумме углов другой пары, то прямые не параллельны

Б) если накрест лежащие углы не равны, то прямые не параллельны

В) если сумма односторонних углов не равна $180^\circ$, то прямые не параллельны

Г) если соответственные углы не равны, то прямые не параллельны

Для ответа на вопрос проанализируем каждое утверждение по отдельности.

А) если сумма углов одной пары накрест лежащих углов равна сумме углов другой пары, то прямые не параллельны

Рассмотрим две прямые, пересеченные секущей. При этом образуется две пары внутренних накрест лежащих углов. Обозначим углы одной пары как $\angle 1$ и $\angle 2$, а углы другой пары — $\angle 3$ и $\angle 4$. Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются смежными при одной вершине пересечения, как и углы $\angle 2$ и $\angle 4$ при другой. Следовательно, их суммы равны $180^\circ$:

$\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$

$\angle 2 + \angle 4 = 180^\circ$

Условие, данное в утверждении, можно записать как $\angle 1 + \angle 2 = \angle 3 + \angle 4$.

Из соотношений для смежных углов выразим $\angle 3 = 180^\circ - \angle 1$ и $\angle 4 = 180^\circ - \angle 2$. Подставим эти выражения в исходное условие:

$\angle 1 + \angle 2 = (180^\circ - \angle 1) + (180^\circ - \angle 2)$

$\angle 1 + \angle 2 = 360^\circ - \angle 1 - \angle 2$

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 1 + \angle 2 = 360^\circ$

$2(\angle 1 + \angle 2) = 360^\circ$

$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

Таким образом, условие «сумма углов одной пары накрест лежащих углов равна сумме углов другой пары» равносильно условию «сумма накрест лежащих углов (из одной пары) равна $180^\circ$».

Теперь проверим утверждение в этой эквивалентной форме: «если сумма накрест лежащих углов равна $180^\circ$, то прямые не параллельны».

Рассмотрим контрпример: две параллельные прямые, пересеченные перпендикулярной им секущей. В этом случае все образующиеся углы прямые ($90^\circ$). Накрест лежащие углы будут равны друг другу и равны $90^\circ$. Их сумма составит $\angle 1 + \angle 2 = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

В этом случае условие выполнено, но прямые параллельны. Это противоречит выводу утверждения («прямые не параллельны»). Следовательно, исходное утверждение неверно.

Ответ: Утверждение неверно.

Б) если накрест лежащие углы не равны, то прямые не параллельны

Это утверждение является верным. Оно представляет собой контрапозицию к свойству параллельных прямых. Свойство параллельных прямых гласит: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны».

Пусть $P$ — это утверждение «прямые параллельны», а $Q$ — «накрест лежащие углы равны». Тогда свойство можно записать как $P \implies Q$.

Утверждение Б формулируется как «если углы не равны (не $Q$), то прямые не параллельны (не $P$)», то есть $\neg Q \implies \neg P$. В логике утверждение и его контрапозиция всегда имеют одинаковую истинность. Поскольку свойство параллельных прямых ($P \implies Q$) является истинным, то и утверждение Б истинно.

Ответ: Утверждение верно.

В) если сумма односторонних углов не равна 180°, то прямые не параллельны

Это утверждение также является верным. Оно является контрапозицией к свойству параллельных прямых, касающемуся односторонних углов: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$».

Пусть $P$ — «прямые параллельны», а $R$ — «сумма односторонних углов равна $180^\circ$». Свойство имеет вид $P \implies R$.

Утверждение В формулируется как «если сумма не равна $180^\circ$ (не $R$), то прямые не параллельны (не $P$)», то есть $\neg R \implies \neg P$. Это контрапозиция к истинному свойству, а значит, само утверждение тоже истинно.

Ответ: Утверждение верно.

Г) если соответственные углы не равны, то прямые не параллельны

Данное утверждение является верным по той же причине, что и предыдущие два. Это контрапозиция к свойству параллельных прямых о соответственных углах: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны».

Пусть $P$ — «прямые параллельны», а $S$ — «соответственные углы равны». Свойство имеет вид $P \implies S$.

Утверждение Г формулируется как «если углы не равны (не $S$), то прямые не параллельны (не $P$)», то есть $\neg S \implies \neg P$. Это логически эквивалентно истинному свойству и, следовательно, само является истинным.

Ответ: Утверждение верно.

5. Какое из следующих утверждений неверно?

А) если сумма углов одной пары накрест лежащих углов равна сумме углов другой пары, то прямые не параллельны

Б) если накрест лежащие углы не равны, то прямые не параллельны

В) если сумма односторонних углов не равна $180^\circ$, то прямые не параллельны

Г) если соответственные углы не равны, то прямые не параллельны