Номер 8, страница 137 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 3 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 8, страница 137.

8. В треугольнике ABC биссектрисы углов A и C пересекаются в точке O. Какое из следующих равенств верно?

A) $ \angle AOC = 90^\circ - \frac{1}{2} \angle B $

B) $ \angle AOC = 90^\circ + \frac{1}{2} \angle B $

Б) $ \angle AOC = 90^\circ - \angle B $

Г) $ \angle AOC = 90^\circ + \angle B $

Для нахождения угла $∠AOC$ воспользуемся свойством о сумме углов треугольника, которая составляет 180°.

Сначала рассмотрим треугольник $AOC$. Сумма его углов равна 180°:
$∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180°$

По условию, $AO$ и $CO$ являются биссектрисами углов $A$ и $C$ соответственно. Это значит, что они делят эти углы пополам:
$∠OAC = \frac{1}{2}∠A$
$∠OCA = \frac{1}{2}∠C$

Подставим эти выражения в формулу для суммы углов треугольника $AOC$:
$∠AOC + \frac{1}{2}∠A + \frac{1}{2}∠C = 180°$
$∠AOC + \frac{1}{2}(∠A + ∠C) = 180°$

Теперь рассмотрим исходный треугольник $ABC$. Сумма его углов также равна 180°:
$∠A + ∠B + ∠C = 180°$
Выразим из этого равенства сумму углов $A$ и $C$ через угол $B$:
$∠A + ∠C = 180° - ∠B$

Наконец, подставим полученное выражение для $(∠A + ∠C)$ в уравнение для треугольника $AOC$:
$∠AOC + \frac{1}{2}(180° - ∠B) = 180°$
Раскроем скобки:
$∠AOC + 90° - \frac{1}{2}∠B = 180°$
Выразим $∠AOC$:
$∠AOC = 180° - 90° + \frac{1}{2}∠B$
$∠AOC = 90° + \frac{1}{2}∠B$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что верным является равенство, указанное в пункте В).

Ответ: В) $∠AOC = 90° + \frac{1}{2}∠B$

8. В треугольнике ABC биссектрисы углов A и C пересекаются в точке O. Какое из следующих равенств верно?

А) $\angle AOC = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle B$

В) $\angle AOC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle B$

Б) $\angle AOC = 90^\circ - \angle B$

Г) $\angle AOC = 90^\circ + \angle B$