Номер 10, страница 137 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 3 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 10, страница 137.

10. Какое из следующих утверждений верно?

А) если две стороны одного прямоугольного треугольника равны двум сторонам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Б) если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

В) если гипотенуза и два угла одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и двум углам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Г) если сторона и два угла одного прямоугольного треугольника равны стороне и двум углам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Проанализируем каждое утверждение, чтобы определить, какое из них является верным признаком равенства прямоугольных треугольников.

А) если две стороны одного прямоугольного треугольника равны двум сторонам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Это утверждение в общем случае неверно. Оно не уточняет, какие именно стороны равны (два катета, или катет и гипотенуза). Рассмотрим контрпример.
Пусть первый прямоугольный треугольник $T_1$ имеет катеты $a_1 = 5$ и $b_1 = 12$. Его гипотенуза $c_1$ по теореме Пифагора равна:
$c_1 = \sqrt{a_1^2 + b_1^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
Стороны этого треугольника: 5, 12, 13.
Пусть второй прямоугольный треугольник $T_2$ имеет катет $a_2 = 5$ и гипотенузу $c_2 = 12$. Его второй катет $b_2$ равен:
$b_2 = \sqrt{c_2^2 - a_2^2} = \sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}$.
Стороны этого треугольника: 5, $\sqrt{119}$, 12.
Две стороны треугольника $T_1$ (катеты 5 и 12) равны по значению двум сторонам треугольника $T_2$ (катету 5 и гипотенузе 12). Однако сами треугольники $T_1$ и $T_2$ не равны, так как их третьи стороны не равны ($13 \neq \sqrt{119}$).
Следовательно, утверждение А неверно.
Ответ: неверно.

Б) если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Это утверждение является одним из стандартных признаков равенства прямоугольных треугольников. Рассмотрим два возможных случая:
1. Острый угол прилежит к данному катету. В этом случае треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Стороной является данный катет, а прилежащими углами — данный острый угол и прямой угол ($90^\circ$).
2. Острый угол противолежит данному катету. В этом случае треугольники также равны по признаку равенства треугольников по стороне и двум углам. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, а один угол прямой ($90^\circ$), то, зная один острый угол, мы можем найти и второй. Таким образом, у нас есть сторона и все три угла, что гарантирует равенство треугольников (признак AAS).
В обоих случаях треугольники равны. Следовательно, утверждение Б верно.
Ответ: верно.

В) если гипотенуза и два угла одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и двум углам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Это утверждение верно, но сформулировано избыточно. В прямоугольном треугольнике один угол всегда равен $90^\circ$. Сумма двух острых углов также равна $90^\circ$. Поэтому, если известен один острый угол, второй однозначно определяется. Условие равенства "двух углов" эквивалентно условию равенства одного острого угла.
Таким образом, утверждение сводится к признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Это известный признак равенства, который следует из общего признака равенства треугольников по стороне и двум углам (AAS).
Хотя утверждение истинно с точки зрения логики, его формулировка не является стандартной и содержит избыточную информацию.
Ответ: верно.

Г) если сторона и два угла одного прямоугольного треугольника равны стороне и двум углам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Это утверждение является общим признаком равенства для любых треугольников (по стороне и двум углам, ASA или AAS) и, следовательно, оно верно и для прямоугольных треугольников. Как и в пункте В, указание "двух углов" для прямоугольного треугольника является избыточным, так как знание одного острого угла позволяет найти все углы.
Утверждение сводится к признаку равенства по стороне (катету или гипотенузе) и острому углу.
Это утверждение также логически истинно, но, как и В, сформулировано неоптимально для частного случая прямоугольных треугольников.
Ответ: верно.

Итог:
Утверждения Б, В и Г являются логически верными. Однако в задачах с выбором одного ответа обычно требуется указать наиболее точную и стандартную формулировку.

• Утверждение А — неверно.
• Утверждения В и Г — верны, но избыточны в своей формулировке, так как для прямоугольного треугольника достаточно задать один острый угол, чтобы все углы были известны.
• Утверждение Б — верно и представляет собой стандартный, точный и минимально необходимый признак равенства прямоугольных треугольников (по катету и острому углу).

Следовательно, наиболее корректным ответом на вопрос является утверждение Б.

10. Какое из следующих утверждений верно?

А) если две стороны одного прямоугольного треугольника равны двум сторонам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Б) если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

В) если гипотенуза и два угла одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и двум углам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Г) если сторона и два угла одного прямоугольного треугольника равны стороне и двум углам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны