Номер 2, страница 144 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 2, страница 144.

2. Какие две теоремы надо доказать, чтобы иметь право утверждать, что некоторое множество точек является ГМТ?

Чтобы иметь право утверждать, что некоторое множество точек (назовем его фигура $F$) является геометрическим местом точек (ГМТ) для определенного свойства $P$, необходимо доказать две взаимно обратные теоремы.

Первая теорема (прямая теорема)

Необходимо доказать, что любая точка, обладающая заданным свойством $P$, принадлежит фигуре $F$. Эта теорема устанавливает, что все точки, удовлетворяющие условию, содержатся в данной фигуре и не могут находиться вне ее. Другими словами, если точка $M$ обладает свойством $P$, то она принадлежит фигуре $F$.

Вторая теорема (обратная теорема)

Необходимо доказать, что любая точка, принадлежащая фигуре $F$, обладает заданным свойством $P$. Эта теорема устанавливает, что в фигуре $F$ нет "посторонних" точек, которые не удовлетворяли бы нужному свойству. Другими словами, если точка $N$ принадлежит фигуре $F$, то она обладает свойством $P$.

Доказательство этих двух теорем в совокупности означает, что множество точек, обладающих свойством $P$, и множество точек, составляющих фигуру $F$, полностью совпадают. Это и является определением геометрического места точек.

Ответ: Необходимо доказать две теоремы: 1) прямую, что каждая точка, обладающая данным свойством, принадлежит этому множеству, и 2) обратную, что каждая точка этого множества обладает данным свойством.

2. Какие две теоремы надо доказать, чтобы иметь право утверждать, что некоторое множество точек является ГМТ?