Номер 9, страница 137 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 3 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 9, страница 137.

9. В треугольнике ABC высоты, проведённые из вершин A и C, пересекаются в точке O. Какое из следующих равенств верно?

А) $\angle AOC = 90^\circ - \angle B$В) $\angle AOC = 90^\circ + \angle B$

Б) $\angle AOC = 180^\circ - \angle B$Г) $\angle AOC = 180^\circ - \frac{1}{2}\angle B$

Пусть $AD$ и $CE$ — высоты треугольника $ABC$, проведённые из вершин $A$ и $C$ соответственно. Точка $O$ — точка их пересечения. По определению высоты, прямая $AD$ перпендикулярна прямой $BC$, а прямая $CE$ перпендикулярна прямой $AB$. Следовательно, в точках их пересечения образуются прямые углы: $\angle ODB = 90^\circ$ и $\angle OEB = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $BEDO$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$:$\angle EBD + \angle BDO + \angle DOE + \angle OEB = 360^\circ$

Угол $\angle EBD$ является углом $\angle B$ исходного треугольника $ABC$. Подставив известные значения углов $BDO$ и $OEB$ в уравнение, получаем:$\angle B + 90^\circ + \angle DOE + 90^\circ = 360^\circ$

Упростим это выражение:$\angle B + \angle DOE + 180^\circ = 360^\circ$$\angle DOE = 360^\circ - 180^\circ - \angle B$$\angle DOE = 180^\circ - \angle B$

Углы $\angle AOC$ и $\angle DOE$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых (высот) $AD$ и $CE$. Вертикальные углы равны между собой, поэтому:$\angle AOC = \angle DOE$

Из этого следует, что искомый угол $\angle AOC$ равен:$\angle AOC = 180^\circ - \angle B$

Среди предложенных вариантов это равенство соответствует варианту Б).

Ответ: Б

9. В треугольнике $ABC$ высоты, проведённые из вершин $A$ и $C$, пересекаются в точке $O$. Какое из следующих равенств верно?

А) $\angle AOC = 90^\circ - \angle B$

В) $\angle AOC = 90^\circ + \angle B$

Б) $\angle AOC = 180^\circ - \angle B$

Г) $\angle AOC = 180^\circ - \frac{1}{2}\angle B$