Номер 11, страница 137 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание № 3 «Проверьте себя» в тестовой форме. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 11, страница 137.

11. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 60^\circ$. Какое из следующих утверждений верно?

А) $CB = \frac{1}{2}AB$

В) $CB = \frac{1}{2}AC$

Б) $AC = \frac{1}{2}AB$

Г) $AC = \frac{1}{2}CB$

По условию задачи дан треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$. Это прямоугольный треугольник.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол, $\angle A$:

$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике есть свойство: катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

В треугольнике $ABC$ гипотенузой является сторона $AB$, так как она лежит напротив прямого угла $C$. Катет $CB$ лежит напротив угла $\angle A$, который равен $30^\circ$. Катет $AC$ лежит напротив угла $\angle B$, равного $60^\circ$.

Согласно свойству, катет $CB$, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы $AB$. Математически это записывается как: $CB = \frac{1}{2}AB$.

Теперь проанализируем каждое из предложенных утверждений:

А) $CB = \frac{1}{2}AB$

Это утверждение верно, так как катет $CB$ лежит напротив угла $\angle A = 30^\circ$ и, следовательно, равен половине гипотенузы $AB$.

Б) $AC = \frac{1}{2}AB$

Это утверждение неверно. Катет $AC$ лежит напротив угла $\angle B = 60^\circ$. Его длина связана с гипотенузой через синус: $AC = AB \cdot \sin(60^\circ) = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

В) $CB = \frac{1}{2}AC$

Это утверждение неверно. Соотношение между катетами можно найти через тангенс угла $B$: $\tan(60^\circ) = \frac{AC}{CB}$. Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, то $AC = CB \cdot \sqrt{3}$. Отсюда $CB = \frac{AC}{\sqrt{3}}$.

Г) $AC = \frac{1}{2}CB$

Это утверждение также неверно, что следует из соотношения $AC = CB \cdot \sqrt{3}$.

Таким образом, единственным верным утверждением является А.

Ответ: А

11. В треугольнике ABC известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 60^\circ$. Какое из следующих утверждений неверно?

А) $CB = \frac{1}{2}AB$

В) $CB = \frac{1}{2}AC$

Б) $AC = \frac{1}{2}AB$

Г) $AC = \frac{1}{2}CB$