Номер 3, страница 144 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 3, страница 144.

3. Какая фигура является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка?

Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка, является прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину. Такая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку.

Доказательство

Доказательство состоит из двух частей: прямой и обратной теорем.

1. Прямая теорема: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

Пусть дан отрезок $AB$ и прямая $m$, являющаяся его серединным перпендикуляром. Прямая $m$ пересекает отрезок $AB$ в его середине, точке $O$, и $m \perp AB$.

Возьмем на прямой $m$ произвольную точку $M$. Соединим точку $M$ с концами отрезка $A$ и $B$. Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle BOM$.

В этих треугольниках:

• $AO = BO$, так как $O$ — середина отрезка $AB$.
• Сторона $MO$ — общая.
• $\angle AOM = \angle BOM = 90^\circ$, так как $m \perp AB$.

Следовательно, $\triangle AOM = \triangle BOM$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AM = BM$.

Это доказывает, что любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка.

2. Обратная теорема: Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.

Пусть точка $M$ равноудалена от концов отрезка $AB$, то есть $AM = BM$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Так как $AM = BM$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$.

Проведем медиану $MO$ к основанию $AB$ (где $O$ — середина $AB$). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Следовательно, $MO \perp AB$.

Таким образом, точка $M$ лежит на прямой, которая проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярна ему. Эта прямая и есть серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

Из двух доказанных теорем следует, что искомым геометрическим местом точек является серединный перпендикуляр.

Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку.

3. Какая фигура является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка?